Série de Taylor

thumb|Brook Taylor, dont la série porte le nom. En mathématiques, et plus précisément en analyse, la série de Taylor au point d'une fonction (réelle ou complexe) indéfiniment dérivable en ce point, appelée aussi le développement en série de Taylor de en , est une série entière approchant la fonction autour de , construite à partir de et de ses dérivées successives en . Elles portent le nom de Brook Taylor, qui les a introduites en 1715. Dans le cas où , on parle aussi de série de Maclaurin, d'après Colin Maclaurin qui a beaucoup utilisé ce cas particulier des séries de Taylor à partir du milieu du . La série de Taylor d'une fonction est une extension de l'approximation polynomiale d'une fonction donnée par le théorème de Taylor. Une fonction est dite analytique en quand cette série coïncide avec au voisinage de . Soit une fonction indéfiniment dérivable en un point . Le développement de Taylor en ce point d'un polynôme de degré inférieur ou égal à est : L'unique polynôme de degré inférieur ou égal à dont les dérivées en jusqu'à l'ordre coïncident avec celles de la fonction est donc : On l'appelle le polynôme d'interpolation d'Hermite de en à l'ordre . Ce polynôme est aussi la partie principale du développement limité de en à l'ordre , donné par la formule de Taylor. La série de Taylor de en sera définie comme la série entière dont la -ième somme partielle est égale à , pour tout entier . Soit une fonction d'une variable réelle ou complexe, indéfiniment dérivable en un point . La série de Taylor de en ce point est la série de fonctions : qui s'écrit sous forme synthétique : où est la factorielle de et désigne la dérivée n-ième de . Cette série de fonctions (convergente ou non) est une série entière de la variable . La notation a encore un sens en analyse fonctionnelle dans les algèbres normées, réelles ou complexes ; mais cette généralisation ne sera pas abordée dans cet article. Si , la série est aussi appelée la série de Maclaurin de .