vignette|Matrice 5x5 symétrique. Les coefficients égaux sont représentés par la même couleur.
En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que a = a pour tous i et j compris entre 1 et n, où les a sont les coefficients de la matrice et n est son ordre.
Les coefficients d'une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale principale (du coin en haut à gauche jusqu'à celui en bas à droite). La matrice suivante est donc symétrique :
Toute matrice diagonale est symétrique.
Une matrice représentant une forme bilinéaire est symétrique si et seulement si cette dernière est symétrique.
L'ensemble des matrices symétriques d'ordre n à coefficients dans un corps commutatif est un sous-espace vectoriel de dimension n(n+1)/2 de l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n, et si la caractéristique du corps est différente de 2, un sous-espace supplémentaire est celui des matrices antisymétriques.
Dans un espace euclidien, une matrice représentant un endomorphisme dans une base orthonormée est symétrique si et seulement si l'endomorphisme est autoadjoint. Le théorème spectral en dimension finie en déduit que toute matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable à l'aide d'une matrice de passage orthogonale, car les valeurs propres d'un endomorphisme autoadjoint sont réelles et ses sous-espaces propres sont orthogonaux.
Numériquement, le procédé de diagonalisation s'applique à toute matrice symétrique et il consiste à la décomposer sous la forme
où est une matrice orthogonale (dont les colonnes sont des vecteurs propres de ) et où est une matrice diagonale dont les coefficients sont précisément les valeurs propres de .
Remarque : une matrice symétrique à coefficients complexes peut ne pas être diagonalisable. Par exemple, la matriceadmet 0 comme seule valeur propre ; si elle était diagonalisable, elle serait nulle. L'analogue complexe des matrices symétriques réelles est en fait les matrices hermitiennes (qui, elles, sont diagonalisables).
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En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre.
vignette|Matrice 5x5 symétrique. Les coefficients égaux sont représentés par la même couleur. En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que a = a pour tous i et j compris entre 1 et n, où les a sont les coefficients de la matrice et n est son ordre. Les coefficients d'une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale principale (du coin en haut à gauche jusqu'à celui en bas à droite).
thumb|upright=1.5 En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.
In this thesis we address the computation of a spectral decomposition for symmetric
banded matrices. In light of dealing with large-scale matrices, where classical dense
linear algebra routines are no
Based on the spectral divide-and-conquer algorithm by Nakatsukasa and Higham [SIAM J. Sci. Comput., 35(3):A1325-A1349, 2013], we propose a new algorithm for computing all the eigenvalues and eigenvect
Couvre la définition de la distribution gaussienne multivariée et de ses propriétés, y compris la fonction génératrice de moment et les combinaisons linéaires de variables.
In this thesis, we study two distinct problems.
The first problem consists of studying the linear system of partial differential equations which consists of taking a k-form, and applying the exterior