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Concept
Matrice symétrique
Résumé
vignette|Matrice 5x5 symétrique. Les coefficients égaux sont représentés par la même couleur.
En algèbre linéaire et multilinéaire, une matrice symétrique est une matrice carrée qui est égale à sa propre transposée, c'est-à-dire telle que a = a pour tous i et j compris entre 1 et n, où les a sont les coefficients de la matrice et n est son ordre.
Les coefficients d'une matrice symétrique sont symétriques par rapport à la diagonale principale (du coin en haut à gauche jusqu'à celui en bas à droite). La matrice suivante est donc symétrique :
Toute matrice diagonale est symétrique.
Une matrice représentant une forme bilinéaire est symétrique si et seulement si cette dernière est symétrique.
L'ensemble des matrices symétriques d'ordre n à coefficients dans un corps commutatif est un sous-espace vectoriel de dimension n(n+1)/2 de l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n, et si la caractéristique du corps est différente de 2, un sous-espace supplémentaire est celui des matrices antisymétriques.
Dans un espace euclidien, une matrice représentant un endomorphisme dans une base orthonormée est symétrique si et seulement si l'endomorphisme est autoadjoint. Le théorème spectral en dimension finie en déduit que toute matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable à l'aide d'une matrice de passage orthogonale, car les valeurs propres d'un endomorphisme autoadjoint sont réelles et ses sous-espaces propres sont orthogonaux.
Numériquement, le procédé de diagonalisation s'applique à toute matrice symétrique et il consiste à la décomposer sous la forme
où est une matrice orthogonale (dont les colonnes sont des vecteurs propres de ) et où est une matrice diagonale dont les coefficients sont précisément les valeurs propres de .
Remarque : une matrice symétrique à coefficients complexes peut ne pas être diagonalisable. Par exemple, la matriceadmet 0 comme seule valeur propre ; si elle était diagonalisable, elle serait nulle. L'analogue complexe des matrices symétriques réelles est en fait les matrices hermitiennes (qui, elles, sont diagonalisables).
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