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Concept
Théorème des syzygies de Hilbert
Résumé
Le théorème des syzygies est un important résultat mathématiques sur la théorie des anneaux, plus spécifiquement des anneaux de polynômes. Il joue également un rôle historique considérable, en ce qu'il a motivé et orienté le développement de la géométrie algébrique au début du . Il est dû au mathématicien allemand David Hilbert qui l'a démontré en 1890, posant avec le théorème de la base et le théorème des zéros les fondements de l'étude moderne des anneaux de polynômes. Le terme de syzygie, d'origine astronomique, est utilisé par Hilbert pour désigner des « relations entre relations » entre les générateurs d'idéaux. On peut considérer aujourd'hui que ce résultat fut le premier pas vers l'algèbre homologique moderne.
Le théorème est prouvé en 1890 dans un long article de Hilbert, où il prouve également le théorème de la base et une version partielle de ce qui deviendra le avec les travaux de Lindsay Burch en 1968. La version de Hilbert du théorème des syzygies portait sur le cas particulier d'un anneau de polynômes à coefficients complexes : soit un tel anneau, et soit un -module gradué de type fini ayant pour générateurs . Alors l'ensemble des tels que possède naturellement une structure de -module, on le note et on l'appelle le module de syzygies de . L'idée de Hilbert est de répéter ce processus : le -ème module de syzygies est obtenu en répétant fois cette constructions, partant de . Il observe alors que pour une valeur de assez grande, au plus , est un module libre ! Autrement dit, on obtient une de . Puisque les modules libres sont particulièrement faciles à manier, et qu'une résolution libre est une suite exacte, de nombreuses propriétés importantes peuvent être calculées grâce à cette résolution libre.
La principale motivation de Hilbert était de montrer que la fonction génératrice qui compte le nombre d'invariants de chaque degré est une fonction rationnelle. Il illustre la technique sur une famille simple de résolutions libres (on parle aujourd'hui du ) :
Le théorème a depuis été approfondi et simplifié, entre autres par la preuve par Quillen et Suslin en 1976 de la conjecture de Serre, qui relie les modules libres aux modules projectifs.
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