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Concept
Méthode de Galerkine discontinue
Résumé
Les méthodes de Galerkine discontinues (méthodes GD, en abrégé) sont une classe de méthode numérique de résolution des équations aux dérivées partielles, nommées en référence au mathématicien Boris Galerkine. Elle réunit des propriétés de la méthode des éléments finis (approximation polynomiale de la solution par cellule) et de la méthode des volumes finis (définition locale de l'approximation et calcul des flux aux interfaces des cellules du maillage). Cette définition lui permet d'être appliquée à des systèmes d'équations hyperboliques, elliptiques et paraboliques, plus particulièrement aux problèmes dont le terme de premier ordre est dominant (équations de transport, électrodynamique, mécanique des fluides et physique des plasmas).
Un des apports de la méthode de Galerkine discontinue, est de ne pas imposer la continuité de la solution numérique à l'interface entre un élément et son voisin. Cette caractéristique permet un découplage des éléments : « on raisonne localement », en se préoccupant moins des éléments voisins. Ceci permet de paralléliser le calcul et de réduire ainsi le temps de traitement.
Les méthodes de Galerkine discontinues ont été développées dans les années 1970 pour résoudre des équations aux dérivées partielles, comme en 1973, où Reed et Hill ont utilisé une méthode GD pour résoudre les équations de transport du neutron (système hyperbolique). Toutefois, l'application aux systèmes elliptiques a été étudiée par de nombreuses personnes à la même époque, dont on retiendra Ivo Babuška, Jacques-Louis Lions et J.A. Nitsche, ainsi que Baker, qui l'appliqua à des systèmes du en 1977. Par la suite, l'étude et le développement des méthodes GD pour les systèmes elliptiques a été donnée par Arnold, Brezzi, Cockburn et Marini. De façon plus générale, Cockburn, Karniadakis et Shu ont présenté dans leurs notes plusieurs possibilités d'investigation et de développement des méthodes GD.
Les méthodes GD, comme toute méthode de résolution numérique, cherchent à résoudre de manière discrète la solution d'une équation aux dérivées partielles dont on cherche une solution approchée sur un domaine.
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