Moyenne géométrique

En mathématiques, la moyenne géométrique est un type de moyenne. Définition élémentaire La moyenne géométrique de deux nombres positifs a et b est le nombre positif c tel que : : \frac ac=\frac cb. Cette égalité étant une proportion, ceci justifie l'autre appellation « moyenne proportionnelle » de la moyenne géométrique. Interprétation géométrique vignette|La moyenne géométrique des côtés d'un rectangle est donnée par un carré de même aire. Elle est construite par un cercle tangent aux deux cercles définis par les côtés du rectangle et les séparant. Théorème de la moyenne géométrique Géométriquement, ce nombre c est le côté d'un carré dont la surface est la même que celle du rectangle de côtés a et b, puisque dans ce cas : :c^2=ab. On peut calculer directement la moyenne géométrique de deux nombres en prenant la racine carrée de l'expression précédente : :c = \sqrt{ab} = (ab)^{1/2}. Généralisation Cas dis

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Complex Analysis meets Statistical Mechanics: Applications to Kernel Methods and Conformal Field Theory

Francesco Spadaro

This thesis is centered on questions coming from Machine Learning (ML) and Statistical Field Theory (SFT).In Machine Learning, we consider the subfield of Supervised Learning (SL), and in particular regression tasks where one tries to find a regressor that fits given labeled data points as well as possible while at the same time optimizing other constrains. We consider two very famous Regression Models: Kernel Methods and Random Features (RF) models. We show that RF models can be used as an effective way to implement Kernel Methods and discuss in details the robustness of this approximation. Furthermore we propose a new estimator for the analysis of the choice of kernels that it is based only on the acquired dataset.In SFT we focus on so-called two-dimensional Conformal Field Theories (CFTs). We study these theories via their connection with lattice models, detailing how they emerge as continuous limits of discrete models as well as the meaning of all the central quantities of the theory. Furthermore, we show how to connect CFTs with the theory of Schramm-Loewner Evolutions (SLEs). Finally, we focus on the semi-local theories associated with the Ising and Tricritical Ising models and analyze the probabilistic and geometric meaning of the holomorphic fermions present therein.

EPFL2021

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Geometric Mixing, Peristalsis, and the Geometric Phase of the Stomach

Nicolas Piro Mastracchio

Mixing fluid in a container at low Reynolds number-in an inertialess environment-is not a trivial task. Reciprocating motions merely lead to cycles of mixing and unmixing, so continuous rotation, as used in many technological applications, would appear to be necessary. However, there is another solution: movement of the walls in a cyclical fashion to introduce a geometric phase. We show using journal-bearing flow as a model that such geometric mixing is a general tool for using deformable boundaries that return to the same position to mix fluid at low Reynolds number. We then simulate a biological example: we show that mixing in the stomach functions because of the "belly phase," peristaltic movement of the walls in a cyclical fashion introduces a geometric phase that avoids unmixing.

Public Library Science2015

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Geometric mixing

Nicolas Piro Mastracchio

Mixing fluids often involves a periodic action, like stirring one's tea. But reciprocating motions in fluids at low Reynolds number, in Stokes flows where inertia is negligible, lead to periodic cycles of mixing and unmixing, because the physics, molecular diffusion excepted, is time reversible. So how can fluid be mixed in such circumstances? The answer involves a geometric phase. Geometric phases are found everywhere in physics as anholonomies, where after a closed circuit in the parameters, some system variables do not return to their original values. We discuss the geometric phase in fluid mixing: geometric mixing. This article is part of the theme issue 'Stokes at 200 (part 2)'.

ROYAL SOC2020

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Moyenne harmonique

La moyenne harmonique H de nombres réels strictement positifs a1, ..., a est définie par : :H = \frac{n}{\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n}}\cdot C'est l'inverse

Moyenne arithmétique

En mathématiques, la moyenne arithmétique d'une liste de nombres réels est la somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs. Il s’agit de la moyenne au sens usuel du terme, sans coefficients, l’a

Logarithme

vignette|Tracés des fonctions logarithmes en base 2, e et 10. En mathématiques, le logarithme (de logos : rapport et arithmos : nombre) de base d'un nombre réel strictement positif est la puissance

MATH-203(c): Analysis III

Le cours étudie les concepts fondamentaux de l'analyse vectorielle et l'analyse de Fourier en vue de leur utilisation pour résoudre des problèmes pluridisciplinaires d'ingénierie scientifique.

CS-457: Geometric computing

This course will cover mathematical concepts and efficient numerical methods for geometric computing. We will develop and implement algorithms to simulate and optimize 2D and 3D geometric models with an emphasis towards computational design for digital fabrication.

MATH-101(a): Analysis I

Étudier les concepts fondamentaux d'analyse et le calcul différentiel et intégral des fonctions réelles d'une variable.