Moyenne arithmético-géométrique

La moyenne arithmético-géométrique de deux réels positifs est une valeur intermédiaire obtenue comme limite de deux suites adjacentes satisfaisant une relation de récurrence qui reprend les formules de moyennes arithmétique et géométrique. La convergence quadratique de ces suites permet une approximation rapide de la moyenne arithmético-géométrique qui est notamment associée à la longueur d'une ellipse en fonction des longueurs de ses axes. Étant donné deux réels positifs et , on définit deux suites positives et , de premiers termes , et satisfaisant les relations de récurrence : Les deux suites et sont adjacentes : D'après le théorème des suites adjacentes, et ont donc une limite commune, , appelée la moyenne arithmético-géométrique de et . Étant donné deux réels positifs et , on montre que : par conséquent, ; il ressort directement de la définition que pour , . Cette propriété, jointe à la précédente, signifie que la moyenne arithmético-géométrique est (comme toutes les autres moyennes) une fonction symétrique et homogène d'ordre 1 en et ; l'égalité n'intervenant que lorsque . Supposons et posons . Il résulte de la majoration : que ce processus est à convergence quadratique. Gauss a établi une relation entre et une intégrale elliptique de première espèce : où K(k) est l'intégrale elliptique de première espèce : Il a montré en effet que l'intégrale vérifiait aussi la relation . Par conséquent, on a, par récurrence sur n, , où un et vn sont les deux suites arithmético-géométriques associées à a et b. Puis, par passage à la limite, . La relation de Gauss et la rapidité de la convergence des deux suites arithmético-géométriques vers la moyenne donne un moyen rapide de calcul numérique approché précis de la valeur de l'intégrale elliptique . La moyenne arithmético-géométrique a été découverte indépendamment par les mathématiciens Adrien-Marie Legendre puis Carl Friedrich Gauss qui s'en servirent pour calculer de façon approchée la longueur de l'arc d'ellipse quelconque, qui s'exprime comme une intégrale elliptique, et même est à l'origine de l'intérêt pour ce domaine de l'analyse.