Concept

Moyenne arithmético-géométrique

Résumé
La moyenne arithmético-géométrique de deux réels positifs est une valeur intermédiaire obtenue comme limite de deux suites adjacentes satisfaisant une relation de récurrence qui reprend les formules de moyennes arithmétique et géométrique. La convergence quadratique de ces suites permet une approximation rapide de la moyenne arithmético-géométrique qui est notamment associée à la longueur d'une ellipse en fonction des longueurs de ses axes. Définition Étant donné deux réels positifs a et b, on définit deux suites positives (u_n) et (v_n), de premiers termes u_0=a, v_0=b et satisfaisant les relations de récurrence : :u_{n+1} = \sqrt{u_nv_n} :v_{n+1} =\frac{u_n + v_n}2. Les deux suites (u_n){n\ge1} et (v_n){n\ge1} sont adjacentes : D'après le théorème des suites adjacentes, (u_n) et (v_n) ont donc une
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