Dérivateur

Un dérivateur est une notion mathématique introduite par Alexander Grothendieck pour essayer de rendre compte de manière catégorique des différentes théories de l'homologie et de l'homotopie, notamment en comblant les défauts des catégories dérivées. Les dérivateurs peuvent se concevoir comme un aperçu des catégories d'ordre supérieur, tout en demeurant un objet de la théorie des catégories ordinaires. Il s'agit de trouver un « bon » cadre pour l'algèbre homologique et , c'est-à-dire un jeu de catégories et de constructions qui en rendent compte de manière naturelle. Jean-Louis Verdier a introduit les catégories dérivées et triangulées pour rendre compte des phénomènes de dérivation, mais cela ne constitue pas une situation satisfaisante : un diagramme de catégories triangulées ne détermine pas sa colimite homotopique à isomorphisme canonique près ; la catégorie dérivée d'une catégorie abélienne, vue comme catégorie triangulée, ne satisfait pas à une propriété universelle. La notion de dérivateur a été introduite pour la première fois sous ce nom par Alexander Grothendieck dans (section 69) en 1983, et parallèlement étudiée par Alex Heller en 1988 sous le nom de « théories homotopiques ». Un exposé dédié est donné par Grothendieck dans Les Dérivateurs en 1990. En 1991, Bernhard Keller introduit les tours de catégories triangulées. En 1996, Jens Franke introduit les systèmes de catégories triangulées de diagrammes, qui correspondent aux dérivateurs stables, et étend la théorie des dérivateurs au cadre enrichi. On désigne par Cat la 2-catégorie des (grosses) catégories. On considère une 2-catégorie Dia (« diagrammes ») de petites catégories. Un pré-dérivateur est un 2-foncteur strict où est le 1-dual de la 2-catégorie. On peut donc le voir comme un préfaisceau sur Dia à valeurs dans Cat.