Catégorie dérivée

La catégorie dérivée d'une catégorie est une construction, originellement introduite par Jean-Louis Verdier dans sa thèse et reprise dans SGA 41⁄2, qui permet notamment de raffiner et simplifier la théorie des foncteurs dérivés. Elle a amené à plusieurs développements importants, ainsi que des reformulations élégantes par exemple de la théorie des D-modules et des preuves de la qui généralise le vingt-et-unième problème de Hilbert. En particulier, le langage des catégories dérivées permet de simplifier des problèmes exprimés en termes de suites spectrales. Cette construction met également à jour la , une généralisation de celle de Poincaré et de celle d'Alexander. Soit A une catégorie abélienne. On note la catégorie (additive) des complexes de chaînes sur A. On note la catégorie (additive) dont les objets sont ceux de et les morphismes sont les classes de morphismes de équivalents par homotopie. est en particulier une catégorie triangulée. Si on note des objets de (ce sont des complexes de chaînes), un morphisme est appelé quasi-isomorphisme s'il induit un isomorphisme en cohomologie. On note Q la collection des quasi-isomorphismes, alors la catégorie dérivée de A est la localisation de par Q. En se restreignant aux complexes bornés inférieurement, supérieurement ou bornés, on construit respectivement , et Il est également possible de définir la catégorie dérivée d'une catégorie exacte. La catégorie dérivée est un objet dont les morphismes ne peuvent pas en général être manipulés aisément, au contraire de la catégorie . Il existe un foncteur canonique Si est un foncteur, on dit que le foncteur dérivé à droite existe si le foncteur est représentable. Alors en est un représentant et coïncide avec la définition usuelle. Le foncteur dérivé à gauche est défini de manière duale. Le foncteur est une équivalence de catégories si on le restreint à une sous-catégorie .