Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Opérateur hamiltonien
Résumé
L’opérateur de Hamilton, opérateur hamiltonien ou tout simplement hamiltonien est un opérateur mathématique possédant de nombreuses applications dans divers domaines de la physique.
D'après Jérôme Pérez, l'opérateur hamiltonien a été développé en 1811 par Joseph-Louis Lagrange alors qu'Hamilton n'avait que 6 ans. Lagrange a explicitement écrit :
formule dans laquelle faisait référence à Christiaan Huygens et qu'il aurait appelé Huygensien.
Ce n'est que par la suite que l'opérateur a été dénommé Hamiltonien par référence à la mécanique hamiltonienne, développée par Sir William Rowan Hamilton lorsque celui-ci a reformulé les lois de la mécanique newtonienne. Bien que le formalisme hamiltonien ne soit pas aussi bien adapté que le formalisme lagrangien à la description des symétries d'un système physique, il est tout de même largement utilisé par la mécanique classique, la physique statistique et la mécanique quantique.
Cet opérateur est noté et est la transformée de Legendre du lagrangien :
Où est le Lagrangien, q la position (aussi appelés coordonnées généralisées), t le temps.
Dans le membre de droite de cette formule, les vitesses sont supposées être exprimées en fonction des moments conjugués.
Si les équations qui définissent les coordonnées généralisées sont indépendantes du temps t, on peut montrer que est égal à l'énergie totale E, elle-même étant égale à la somme de l'énergie cinétique T et de l'énergie potentielle V ().
En mécanique quantique, dans la représentation de Schrödinger, l'évolution dans le temps d'un système quantique est caractérisée (au niveau infinitésimal) par l’opérateur hamiltonien, tel qu'exprimé par la célèbre équation de Schrödinger :
où est la fonction d'onde du système, et l'opérateur hamiltonien. Dans un état stationnaire :
où est l'énergie de l'état stationnaire. On voit aisément qu'un état stationnaire est un vecteur propre de l'opérateur hamiltonien, avec l'énergie comme valeur propre. Le hamiltonien étant un opérateur hermitien, les énergies obtenues sont réelles.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.