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Concept
Nombre imaginaire pur
Résumé
vignette|Plan des nombres complexes avec les imaginaires purs en bas à droite.
thumb|Plan des nombres complexes. Les coordonnées du point A décrivent un nombre réel pur, celles du point B décrivent un nombre imaginaire pur, et celles du point C décrivent un nombre complexe.
Un nombre imaginaire pur est un nombre complexe qui s'écrit sous la forme ia avec a réel, i étant l'unité imaginaire. Par exemple, i et −3i sont des imaginaires purs. Ce sont les nombres complexes dont la partie réelle est nulle. L'ensemble des imaginaires purs est donc égal à iR (aussi noté iR).
Le carré d'un nombre imaginaire pur est un nombre réel négatif ou nul, et les racines carrées d'un nombre réel négatif sont des imaginaires purs. Au , les travaux de Cardan et de Raphaël Bombelli ont montré l'intérêt d'utiliser des racines carrées de nombres négatifs dans les calculs. Considérés dans un premier temps comme « imaginaires » ou « inconcevables », ils ont fini par être considérés comme des nombres à part entière au cours du .
Dans le corps des nombres complexes, on choisit un élément dont le carré vaut −1, que l'on note i. On appelle alors « imaginaires purs » les nombres z de la forme ia où a est un réel. Ce réel a est alors égal à la partie imaginaire de z. Un nombre complexe z est un imaginaire pur si et seulement si l'une des propriétés suivantes est réalisée :
la partie réelle de z est nulle ;
z = − (où est le conjugué de z) ;
z est nul ou bien son argument vaut π/2 modulo π ;
Le nombre iz est un réel ;
z est un nombre réel négatif.
Les racines carrées d'un nombre réel sont soit réelles, quand ce nombre est positif, soit imaginaires pures quand ce nombre est négatif. Les racines carrées du nombre réel négatif −a (avec a réel) sont les imaginaires purs ia et −ia.
Le plan d'Argand est une représentation géométrique des nombres complexes par les points d'un plan euclidien. Il comporte deux axes gradués orthogonaux. Le premier axe, horizontal, représente l'axe gradué des réels, et le second axe, vertical, est l'axe des imaginaires purs.
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