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Concept
Racine carrée
Résumé
En mathématiques élémentaires, la racine carrée d'un nombre réel positif x est l'unique réel positif qui, lorsqu'il est multiplié par lui-même, donne x, c'est-à-dire le nombre positif dont le carré vaut x. On le note ou x. Dans cette expression, x est appelé le radicande et le signe est appelé le radical. La fonction qui, à tout réel positif, associe sa racine carrée s'appelle la fonction racine carrée.
En algèbre et analyse, dans un anneau ou un corps A, on appelle racine carrée de a, tout élément de A dont le carré vaut a. Par exemple, dans le corps des complexes C, on dira de i (ou de − i) qu'il est une racine carrée de − 1. Selon la nature de l'anneau, et la valeur de a, on peut trouver 0, 1, 2 ou plus de 2 racines carrées de a.
La recherche de la racine carrée d'un nombre, ou extraction de la racine carrée, donne lieu à de nombreux algorithmes. La nature de la racine carrée d'un entier naturel qui n'est pas le carré d'un entier est à l'origine de la première prise de conscience de l'existence de nombres irrationnels. La recherche de racines carrées pour des nombres négatifs a conduit à l'invention des nombres complexes.
Histoire de la racine carrée
thumb|Photographie de la tablette YBC 7289 avec des annotations traduisant les nombres écrits dans le système babylonien. (crédits : Bill Casselman)
La plus ancienne racine carrée connue apparaît vers 1700 sur la tablette YBC 7289. Il s'agit de la représentation d'un carré avec, sur un côté, le nombre 30 et, le long de la diagonale, une valeur approchée de .
thumb|AO = 1, OB = a, OH =
Théorème de la moyenne géométrique
La construction géométrique suivante se réalise à la règle et au compas et permet, étant donné un segment OB de longueur a, et un segment de longueur 1, de construire un segment de longueur :
Construire le segment [AB] de longueur 1 + a et contenant le point O avec AO = 1
Construire le cercle c de diamètre [AB].
Construire la droite d perpendiculaire à (OB) et passant par O.
Nommer H le point d’intersection du cercle c et de la droite d.
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