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Concept
Métrique de Poincaré
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, la métrique de Poincaré, due à Henri Poincaré, est le tenseur métrique décrivant une surface de courbure négative constante. C'est la métrique naturelle utilisée pour des calculs en géométrie hyperbolique ou sur des surfaces de Riemann.
Deux représentations équivalentes sont le plus souvent utilisées en géométrie hyperbolique à deux dimensions : le demi-plan de Poincaré, modèle munissant d'une métrique hyperbolique le demi-plan (complexe) supérieur, et le disque de Poincaré, modèle défini sur le disque unité (le disque et le demi-plan sont isométriques par une transformation conforme, et leurs isométries sont données par des transformations de Mobius). Par ailleurs, le disque épointé, muni d'une métrique hyperbolique induite par la fonction exponentielle sur le demi-plan, est un exemple d'ouvert non simplement connexe (une couronne en l'occurrence) portant une métrique hyperbolique.
Une métrique sur le plan complexe peut généralement s'exprimer sous la forme :
où λ est une fonction réelle positive de et . La longueur de la courbe γ dans le plan complexe (pour cette métrique) est alors donné par :
L'aire d'un sous-ensemble du plan complexe (suffisamment régulier) est donnée par :
où est le produit extérieur (définissant en général la forme volume). Le déterminant de la métrique est égal à , sa racine carrée est donc . L'aire élémentaire déterminée par la métrique est et donc
Une fonction est dite potentiel métrique si
L'opérateur de Laplace-Beltrami est donné par :
La courbure gaussienne de la métrique est donnée par
Cette courbure est la moitié de la courbure scalaire de Ricci.
Les isométries conservent les angles et les longueurs d'arcs. Sur une surface de Riemann, les isométries sont équivalentes à un changement de coordonnées ; ainsi, l'opérateur de Laplace-Beltrami et les courbures sont tous invariants par isométrie.
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