Théorème des zéros de Hilbert

Le théorème des zéros de Hilbert, parfois appelé Nullstellensatz, est un théorème d'algèbre commutative qui est à la base du lien entre les idéaux et les variétés algébriques. Il a été démontré par le mathématicien allemand David Hilbert. Une algèbre de type fini sur K est un anneau quotient d'un anneau de polynômes K[X_1,...,X_n] par un idéal. Sa structure de K-algèbre est induite par celle de K[X_1,...,X_n]. Il existe plusieurs formulations du théorème des zéros de Hilbert. Théorème 1 (Lemme de Zariski). Soient K un corps et A une K-algèbre de type fini. Alors tout quotient de A par un idéal maximal est une extension finie de K. De façon équivalente : si A est un corps, alors c'est une extension finie de K. Procédons par récurrence sur le nombre de générateurs de la K-algèbre A, supposée être un corps. Il faut montrer que ces générateurs sont algébriques sur K. S'il n'y a pas de générateur, il n'y a rien à démontrer. Supposons le résultat vrai pour toute K-algèbre engendrée par n générateurs qui soit également un corps et donnons-nous une K-algèbre A engendrée par n + 1 éléments qui soit un corps. A est engendrée par sur , corps des fractions de inclus dans le corps A. Par hypothèse de récurrence, les , sont annulés par des polynômes unitaires à coefficients dans et il reste à voir que est algébrique sur K. Notant le produit de tous les dénominateurs intervenant dans les coefficients des , les sont entiers sur le localisé , donc A est entier sur . Si était transcendant sur K, alors serait intégralement clos donc, d'après le point précédent, égal à , ce qui est absurde. Finalement, est bien algébrique sur K. Ce théorème a plusieurs conséquences immédiates. On note Spm A le spectre maximal d'un anneau A, l'ensemble des idéaux maximaux de A. Théorème 2 (Nullstellensatz faible). Supposons que est algébriquement clos. Alors la fonction est une bijection, où désigne l'idéal engendré par les . Autrement dit, un point de s'identifie avec un idéal maximal de polynômes à indéterminées sur quand est algébriquement clos.