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Concept
Variété algébrique
Résumé
Une variété algébrique est, de manière informelle, l'ensemble des racines communes d'un nombre fini de polynômes en plusieurs indéterminées. C'est l'objet d'étude de la géométrie algébrique. Les schémas sont des généralisations des variétés algébriques.
Il y a deux points de vue (essentiellement équivalents) sur les variétés algébriques : elles peuvent être définies comme des schémas de type fini sur un corps (langage de Grothendieck), ou bien comme la restriction d'un tel schéma au sous-ensemble des points fermés. On utilise ici le deuxième point de vue, plus classique.
Une variété algébrique est, grossièrement, une réunion finie de variétés affines. Elle peut être vue comme un espace topologique muni de cartes locales qui sont des variétés affines, et dont les applications de transition sont des applications polynomiales.
L'espace topologique sous-jacent d'une variété algébrique est localement un ensemble algébrique affine lorsque le corps de base est algébriquement clos.
On fixe un corps k. Un espace localement annelé en k-algèbres est constitué d'un espace topologique X et d'un faisceau de k-algèbres sur X tel que les germes aux points x de X sont des anneaux locaux.
Une variété algébrique sur k est un espace localement annelé en k-algèbres qui admet un recouvrement fini par des ouverts affines (c'est-à-dire que l'espace est une variété affine). Bien que la structure d'une variété algébrique dépende du faisceau structural , notamment pour les variétés non réduites,
on note généralement une variété algébrique simplement par X sans .
Si U est une partie ouverte de X, les éléments de l'anneau s'appellent les fonctions régulières sur U. Dans des situations favorables, les fonctions régulières s'identifient à des applications de U dans k.
Exemples
Les variétés affines sont par définition des variétés algébriques.
Les variétés projectives sont des variétés algébriques. Une variété projective est affine si et seulement si elle est de dimension 0, c'est-à-dire consiste en un nombre fini de points.
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