Variété algébrique

Une variété algébrique est, de manière informelle, l'ensemble des racines communes d'un nombre fini de polynômes en plusieurs indéterminées. C'est l'objet d'étude de la géométrie algébrique. Les schémas sont des généralisations des variétés algébriques. Il y a deux points de vue (essentiellement équivalents) sur les variétés algébriques : elles peuvent être définies comme des schémas de type fini sur un corps (langage de Grothendieck), ou bien comme la restriction d'un tel schéma au sous-ensemble des points fermés. On utilise ici le deuxième point de vue, plus classique. Définition Une variété algébrique est, grossièrement, une réunion finie de variétés affines. Elle peut être vue comme un espace topologique muni de cartes locales qui sont des variétés affines, et dont les applications de transition sont des applications polynomiales. L'espace topologique sous-jacent d'une variété algébrique est localement un ensemble algébrique affine lorsque le corps de base est algé

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MATH-510: Modern algebraic geometry

The aim of this course is to learn the basics of the modern scheme theoretic language of algebraic geometry.

MATH-479: Linear algebraic groups

The aim of the course is to give an introduction to linear algebraic groups and to give an insight into a beautiful subject that combines algebraic geometry with group theory.

MATH-410: Riemann surfaces

This course is an introduction to the theory of Riemann surfaces. Riemann surfaces naturally appear is mathematics in many different ways: as a result of analytic continuation, as quotients of complex domains under discontinuous group actions, as algebraic curves.

On the projectivity of some moduli spaces of varieties

Quentin Arthur Frantisek Posva

This thesis is constituted of one article and three preprints that I wrote during my PhD thesis. Their common theme is the moduli theory of algebraic varieties. In the first article I study the Chow--Mumford line bundle for families of uniformly K-stable Fano pairs, and I show it is ample when the family has maximal variation. The three preprints deal with a generalization to positive characteristic of Kollár's gluing theory for stable varieties. I generalize this theory to surfaces and threefolds. Then I apply it to study the abundance conjecture for surfaces, the topology of lc centers on threefolds, existence of semi-resolutions for surfaces, and gluing theory for families of surfaces in mixed characteristic.

EPFL2022

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On p-adic Versions of the Manin-Mumford Conjecture

Vlad Serban

We establish p-adic versions of the Manin-Mumford conjecture, which states that an irreducible subvariety of an abelian variety with dense torsion has to be the translate of a subgroup by a torsion point. We do so in the context of certain rigid analytic spaces and formal groups over a p-adic field or its ring of integers, respectively. In particular, we show that the underlying rigidity results for algebraic functions generalize to suitable p-adic analytic functions. This leads us to uncover purely p-adic Manin-Mumford-type results for formal groups not coming from abelian schemes. Moreover, we observe that a version of the Tate-Voloch conjecture holds: torsion points either lie squarely on a subscheme or are uniformly bounded away from it in the p-adic distance.

OXFORD UNIV PRESS2021

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Sur la méthode de Buser-Silhol pour l'uniformisation des surfaces de Riemann hyperelliptiques

Grégoire Aubry

The Uniformization Theorem due to Koebe and Poincaré implies that every compact Riemann surface of genus greater or equal to 2 can be endowed with a metric of constant curvature – 1. On the other hand, a compact Riemann surface is a complex algebraic curve and is therefore described by a polynomial equation with complex coefficients. The uniformization problem is then to link explicitly these two descriptions. In [BS05b], Peter Buser and Robert Silhol develop a new uniformization method for compact Riemann surfaces of genus two. Given such a surface S, the method describes a polynomial equation of an algebraic curve conformally equivalent to S. However, in this method appear a complex number τ BS and a function f BS which is holomorphic on the unit disk, both being characterized by some functional equations. This means that τ BS, f BS are given implicitly. P. Buser and R. Silhol then approximate them numerically by a complex number τ and a polynomial p using the approximation method developped in [BS05a]. In cases where the equation of the algebraic curve is known, they notice that these approximations are very good. In this thesis we prove a convergence theorem for the approximation method of P. Buser and R. Silhol, and we propose an adaptation of their method that allows to solve some of the numerical problems to which it is prone. Moreover, we generalize this uniformization method to hyperelliptic Riemann surfaces of genus greater than 2, and we give some examples of numerical uniformization in genus 3.

EPFL2010

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Géométrie algébrique

La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui, historiquement, s'est d'abord intéressé à des objets géométriques (courbes, surfaces…) composés des points dont les coordonnées vérifiai

Schéma (géométrie algébrique)

En mathématiques, les schémas sont les objets de base de la géométrie algébrique, généralisant la notion de variété algébrique de plusieurs façons, telles que la prise en compte des multiplicités, l'

Corps commutatif

vignette|Corps commutatif (pour n premier) En mathématiques, un corps commutatif (parfois simplement appelé corps, voir plus bas, ou parfois appelé champ) est une des structures algébriqu