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Concept
Théorème de Pappus
Résumé
vignette|Configuration de Pappus : Dans l'hexagone AbCaBc, où les points A, B, C, d'une part et a, b, c d'autre part, sont alignés, les points X, Y, Z le sont aussi.
Le théorème de Pappus est un théorème de géométrie concernant l'alignement de trois points : si on considère trois points alignés A, B, C et trois autres points également alignés a, b, c, les points d'intersection des droites (Ab)-(Ba), (Ac)-(Ca), et (Bc)-(Cb) sont également alignés.
Il s'agit fondamentalement d'un théorème de géométrie projective plane qui possède plusieurs déclinaisons en géométrie affine. En géométrie projective il s'énonce uniquement en termes d'alignements de points et d'intersections de droites, et se démontre dans n'importe quel plan projectif construit sur un corps commutatif. En géométrie affine, il peut se démontrer à l'aide du théorème de Ménélaüs.
Dans une approche axiomatique de la géométrie projective, il peut être pris comme axiome et caractérise alors, parmi les plans vus comme structure d'incidence, ceux qui peuvent être construits sur un corps commutatif, de même en géométrie affine pour l'avatar affine du théorème de Pappus (voir plan affine arguésien). Il a pour conséquence l'axiome de Desargues qui se déduit des axiomes d'incidence et de l'axiome de Pappus par le théorème de Hessenberg.
Il s'agit d'un cas particulier d'hexagramme de Pascal.
Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien grec Pappus d'Alexandrie.
Dans un plan, soient , , trois points distincts alignés sur une droite , et soient , , trois autres points distincts alignés sur une autre droite alors les points
intersection de avec
intersection de avec
intersection de avec
sont alignés.
Il s'agit d'un théorème de géométrie projective donc les points considérés peuvent être propres ou impropres.
Dans le cas où tous les points sont propres, on obtient une configuration du type ci-contre.
Remarques
Si l'on note la droite portant les points A,B,C, alors les assertions suivantes sont équivalentes (en géométrie projective) :
les trois droites , et sont concourantes ;
les trois droites sont concourantes ;
les six droites « croisillons » sont tangentes à une même conique.
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