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Concept
Application projective
Résumé
En mathématiques, une application projective est une application entre deux espaces projectifs qui préserve la structure projective, c'est-à-dire qui envoie les droites, plans, espaces... en des droites, plans, espaces.
➪ Fichier:France homographie (1).gif
Une application projective bijective s'appelle une homographie.
Rappelons que la définition moderne d'un espace projectif est d'être un ensemble dont les points sont les droites vectorielles d'un -espace vectoriel .
Une application d'un espace projectif vers un espace projectif est dite projective s'il existe une application linéaire injective de vers telle que pour tout point de (qui est aussi une droite de ), . L'application linéaire , qui est définie à une constante multiplicative près, est appelée l'application homogène associée à
(et est dite induite par ). On dit aussi que est obtenue à partir de par passage au quotient.
On peut généraliser au cas d'une application non injective, mais alors l'application projective n'est plus définie que sur où . Ici, représente la projection canonique de sur et le noyau de . On parle alors dapplication projective de dans de centre .
Si est de dimension , une application projective est entièrement déterminée par la donnée de points formant un repère projectif et de leurs images.
Les applications projectives transforment un sous-espace projectif en un sous-espace projectif, et conservent le birapport de 4 points alignés distincts.
Dans le cas , les points fixes de ne sont autres que les droites de dirigées par un vecteur propre de associé à une valeur propre non nulle.
Les applications projectives bijectives sont appelées des transformations projectives, ou homographiques, ou encore des homographies. Les homographies d'un espace projectif dans lui-même forment un groupe, appelé le groupe projectif de , noté ; ce groupe, noté également , est isomorphe au quotient du groupe linéaire par le sous-groupe des homothéties.
Une classe importante d'homographies est constituée par les homologies, ayant un hyperplan de points fixes, qui engendrent le groupe projectif en dimension finie.
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