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Concept
Fonction linéaire (analyse)
Résumé
Dans les mathématiques élémentaires, les fonctions linéaires sont parmi les fonctions les plus simples que l'on rencontre. Ce sont des cas particuliers d'applications linéaires.
Elles traduisent la proportionnalité.
Par exemple, on dira que le prix d'un plein d'essence est fonction linéaire du nombre de litres mis dans le réservoir car :
pour zéro litre, on paie zéro euro ;
pour un litre, on paie 1,40 euro ;
pour 2 litres on paie 2,80 euros ;
pour 10 litres on paie 14 euros ;
pour 100 litres on paie 140 euros ;
et pour N litres, on paie 1,4 × N euros.
Remarque : Faux-ami avec le français, les termes allemands Lineare Funktion et anglais Linear function désignent une fonction affine.
Une fonction linéaire est définie de la manière suivante :
avec y = ax
où le nombre a est un réel quelconque.
Ce réel a s'appelle le coefficient de proportionnalité.
En repartant de l'égalité y = ax, on voit que pour x différent de zéro, on peut diviser les deux membres par x. Il vient donc :
Il suffit donc d'une valeur x non nulle et de son image y pour déterminer la valeur du coefficient de proportionnalité.
La représentation graphique d'une fonction est l'ensemble des points de coordonnées (x, y) tels que y = f(x).
Les fonctions linéaires définies de R dans R se représentent dans le plan par une droite. Cette droite passe par l'origine du repère. En effet, si M est un point de la représentation graphique tel que x = 0, il vient nécessairement y = 0.
L'élément graphique important est le coefficient directeur (ou pente) de la droite. Il correspond au coefficient de proportionnalité de la fonction linéaire. On retrouve alors un moyen simple de calcul de ce coefficient directeur : si M(x, y) est un point de la droite différent de l'origine, nous avons, comme précédemment y = ax puis, par division par x (non nul)
Il existe un moyen de lire sur le graphique la pente de la droite : c'est l'inclinaison de la droite par rapport à l'axe des abscisses.
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