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Concept
Espace précompact
Résumé
En topologie, une branche des mathématiques, un espace métrique E est précompact si, pour tout ε > 0, on peut recouvrir E par un nombre fini de boules de rayon ε. La propriété principale est qu'un espace métrique est compact si et seulement s'il est précompact et complet. La notion de précompacité et ses propriétés se généralisent aux espaces uniformes.
Définitions
Soit E un espace métrique. Si l'une des trois propriétés suivantes est vérifiée, alors toutes trois le sont et E est dit précompact.
#Pour tout ε > 0, on peut recouvrir E par un nombre fini de boules de rayon ε ;
#Pour tout ε > 0, on peut recouvrir E par un nombre fini de parties de diamètre inférieur à ε ;
#Toute suite dans E possède une sous-suite de Cauchy.
Plus généralement, soit E un espace uniforme. Si l'une des trois propriétés suivantes est vérifiée alors les trois le sont et E est dit précompact.
#Pour tout entourage V de E, il existe un recouvrement fini de E dont tous les ensembles sont petits d'ordre
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