Produit scalaire

Résumé

En mathématiques, et plus précisément en algèbre et en géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois s'appliquant aux vecteurs. C'est une forme bilinéaire, symétrique, définie positive. À deux vecteurs, elle associe un scalaire, c'est-à-dire un nombre tel que ceux qui définissent cet espace vectoriel — réel pour un espace vectoriel réel. Si \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont deux vecteurs d'un espace vectoriel E sur le corps ℝ des nombres réels, alors le produit scalaire de u par v est un scalaire (c'est-à-dire un élément de ℝ), noté \overrightarrow{u} ∙ \overrightarrow{v} , (\overrightarrow{u} | \overrightarrow{v}), \langle \overrightarrow{u} | \overrightarrow{v} \rangle, ou \langle \overrightarrow{u} , \overrightarrow{v} \rangle. Le produit scalaire est donné par : \overrightarrow {u} \cdot \overrightarrow {v} = ||\ov

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_scalaire

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Further results on latent discourse models and word embeddings

Youssef Allouah

We discuss some properties of generative models for word embeddings. Namely, (Arora et al., 2016) proposed a latent discourse model implying the concentration of the partition function of the word vectors. This concentration phenomenon led to an asymptotic linear relation between the pointwise mutual information (PMI) of pairs of words and the scalar product of their vectors. Here, we first revisit this concentration phenomenon and prove it under slightly weaker assumptions, for a set of random vectors symmetrically distributed around the origin. Second, we empirically evaluate the relation between PMI and scalar products of word vectors satisfying the concentration property. Our empirical results indicate that, in practice, this relation does not hold with arbitrarily small error. This observation is further supported by two theoretical results: (i) the error cannot be exactly zero because the corresponding shifted PMI matrix cannot be positive semidefinite; (ii) under mild assumptions, there exist pairs of words for which the error cannot be close to zero. We deduce that either natural language does not follow the assumptions of the considered generative model, or the current word vector generation methods do not allow the construction of the hypothesized word embeddings.

MICROTOME PUBL2021

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Surface parameterization and optimum design methodology for hydraulic turbines

This thesis presents a methodology for the design optimization of hydraulic runner blades. The originality of the methodology comes from the geometric definition of the blade shapes, which uses parametric surfaces instead of a set of profiles. The main advantage of using surfaces is the number of parameters required. The use of surfaces requires a different technique for the blade construction when compared to traditional approaches. NURBS surfaces are used for the geometric representation, the properties provided by such parametric formulation permit to reach the necessary flexibility and accuracy to be attained. Moreover, the surface approach can be seen as a way to liberate the blade design from traditional discrete sectional approaches. Actual blade optimization procedures are a compromise between the quality of the design, its performance analysis and the subsequent computational time-consumed effort. The improvements provided by the above mentioned geometric definition allow the use of more realistic analysis tools for the design evaluation. Thus, Navier-Stokes (k – ε) simulations are integrated in a simple and direct optimization process. The resulting methodology is not penalized by the time-effort required and becomes of interest for its use in industrial applications. Finally, we supply a number of examples to demonstrate the feasibility of the optimization proposal. These examples illustrate the application of the methodology at different levels of geometric complexity. They are interesting not only through the results obtained, but also because they become acceptable in terms of time consumed on daily and industrial applications.

EPFL2006

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MnO2 nanosheets as an artificial enzyme to mimic oxidase for rapid and sensitive detection of glutathione

Paul Joseph Dyson, Zhaofu Fei, Xing Liu, Jing Liu

Nanozymes are increasingly used as components in assays and diagnostics. Here, we describe a rapid and highly sensitive colorimetric assay for the detection and quantification of glutathione (GSH) employing MnO2 nanosheets as an artificial oxidase. In the assay pale yellow 3,3',5,5'-tetramethylbenzidine (TMB) is oxidized to a blue product (oxTMB) under catalyzing of MnO2 nanosheets with a significant change in absorption at 650 nm. GSH selectively inhibits this reaction with a detection limit of 300 nM. The high specificity of inhibition by GSH allows this system to be used to determine the GSH concentrations in human serum samples. The MnO2 nanosheet-based assay is simple, rapid, sensitive and selective for the quantification of GSH and surpasses detection methods based on other MnO2 nanomaterials.

Elsevier2017

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