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Catégorie
Tenseur
Résumé
En mathématiques, plus précisément en algèbre multilinéaire et en géométrie différentielle, un tenseur est un objet très général, dont la valeur s'exprime dans un espace vectoriel. On peut l'utiliser entre autres pour représenter des applications multilinéaires ou des multivecteurs. On pourrait abusivement considérer qu'un tenseur est une généralisation à n indices du concept de matrice carrée (la matrice possède un indice ligne et un indice colonne — un tenseur peut posséder un nombre arbitraire d'indices inférieurs, covariants, et d'indices supérieurs, contravariants, à ne pas confondre avec des exposants), mais la comparaison s'arrête là car une matrice n'est qu'un simple tableau de nombres qui peut être utilisé pour représenter des objets abstraits, alors que le tenseur est, comme les vecteurs et les applications multilinéaires, un objet abstrait dont les coordonnées changent lorsqu'on passe d'une représentation dans une base donnée à celle dans une autre base.
On peut envisager l'outil tenseur dans quatre types d'utilisation différentes :
le cas simple, où on l'utilise pour ses capacités à représenter des objets algébriques complexes et où on n'a pas besoin des concepts de distances ni d'angles ; on n'introduira pas de produit scalaire, et dans ce cas les coordonnées covariantes représentent des objets de type application linéaire et les coordonnées contravariantes représentent des objets de type (multi-)vecteurs ;
le cas où la base est orthonormée, et où il n'y a pas de différence entre coordonnées covariantes et contravariantes ;
le cas où la base n'est pas orthonormée, et où le produit scalaire est défini par un tenseur métrique. Dans ce cas, le tenseur métrique permet de convertir les coordonnées covariantes en coordonnées contravariantes (et vice versa) ;
le cas des espaces courbes de Riemann et plus tard, de la relativité générale, dans lesquels le tenseur métrique est en fait un champ de tenseurs appelé métrique riemannienne (resp Métrique pseudo-riemannienne) et qui dépend donc de la position.
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