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Concept
Théorème de factorisation de Weierstrass
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de factorisation de Weierstrass, nommé en l'honneur de Karl Weierstrass, affirme que les fonctions entières peuvent être représentées par un produit infini, appelé produit de Weierstrass, mettant en jeu leurs zéros.
Du développement en série entière suivant pour u ∈ ]–1;1[ :
on déduit que la fonction tronquée aux m premiers termes
est sensiblement égale à 1 sur [–1 ; 1], sauf dans un voisinage de u = 1 où elle admet un zéro d'ordre 1. Ces facteurs E(u,m) sont appelés facteurs primaires de Weierstrass. Avec eux, Weierstrass a montré que pour toute fonction entière f d'ordre fini ρ et s'annulant sur les nombres complexes a ≠ 0, il existe un polynôme P(s) de degré inférieur ou égal à ρ, et un entier m < ρ tels que l'on ait :
Le facteur s correspond aux fonctions ayant un zéro d'ordre p en 0.
Par la suite, Borel a précisé m et le degré du polynôme P. Le degré de P est égal à la partie entière de l'ordre ρ si ρ n'est pas entier. Il peut prendre la valeur ρ ou la valeur ρ–1 si l'ordre ρ est entier. L'entier m est majoré par ρ. L'un des deux entiers au moins est égal à ρ si l'ordre est entier.
Ce théorème a été généralisé par Hadamard aux fonctions méromorphes.
Le théorème de factorisation de Hadamard relatif aux fonctions méromorphes d'ordre fini ρ s'énonce ainsi :
Il est une simple conséquence du théorème de factorisation de Weierstrass et du théorème suivant :
La forme donnée par le théorème de factorisation peut souvent se réécrire (voir la section correspondante de l'article « Produit infini ») :
où les u sont les zéros de f ; en pratique, la difficulté est le plus souvent de déterminer la fonction φ(z).
On a en particulier
Pour l'inverse de la fonction gamma, on a la formule analogue (formule due à Schlömilch)
Le produit infini correspondant à la fonction sinus a été découvert par Leonhard Euler, qui s'en est servi pour résoudre le problème de Bâle, et obtenir plus généralement, en identifiant le développement du produit avec celui de la fonction sinus en série de Taylor, les valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers pairs :
où les B sont les nombres de Bernoulli.
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