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Concept
Produit infini
Résumé
En mathématiques, étant donné une suite de nombres complexes , on définit le produit infini de la suite comme la limite, si elle existe, des produits partiels quand N tend vers l'infini ;
De même qu'une série utilise la lettre Σ, un produit infini utilise la lettre grecque Π (pi majuscule) :
Dans le cas où tous les termes de la suite sont non nuls, on dit que le produit infini, noté , converge quand la suite des produits partiels converge vers une limite non nulle ; sinon, on dit que le produit infini diverge.
Si le produit infini converge, alors la suite de ses termes converge vers 1 :
La réciproque est fausse (comme le montre le contre-exemple a = e).
Pour étudier les produits infinis, on passe le plus souvent par le logarithme pour « transformer » le produit infini en une somme infinie, plus manipulable.
Puisque a tend vers 1, il existe un rang tel que . On peut donc appliquer le logarithme complexe, et l'on a
Le produit infini converge si et seulement si la série de droite converge.
On peut ainsi plus facilement étudier la convergence de produits infinis en s'appuyant sur les critères de convergence des sommes infinies.
Un produit est dit absolument convergent si la série l'est, autrement dit si . Un produit absolument convergent est donc convergent, et il est de plus commutativement convergent .
On verra dans les exemples que la condition sur est importante.
Comme , le produit infini diverge vers 0. On en déduit la divergence de la série harmonique.
Idem pour qui diverge vers l'infini.
La divergence de la série des inverses des nombres premiers, entraine celle des deux produits infinis correspondants : et .
(car ) mais on peut noter que converge.
car mais diverge. Dans ce cas converge également.
Il existe des exemples de produit convergents où la série est divergente .
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