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Concept
Dessin d'enfant (mathématiques)
Résumé
En mathématiques, les dessins d'enfants, tels qu'ils ont été introduits par Alexandre Grothendieck dans son Esquisse d'un programme, sont des objets combinatoires permettant d'énumérer de manière simple et élégante les classes d'isomorphisme de revêtements étales de la droite projective privée de trois points. Le groupe de Galois absolu opérant de manière naturelle sur de tels revêtements, le but de la théorie des dessins d'enfants est de traduire cette action en termes combinatoires.
Un dessin d'enfant est un graphe abstrait connexe muni de deux structures additionnelles :
Une structure bipartite sur ses sommets, c.-à-d. une distinction entre sommets blancs et noirs de telle sorte que les extrémités d'une arête n'aient jamais la même couleur ;
Un ordre cyclique des arêtes concourantes en un même sommet.
La première de ces deux conditions implique, par exemple, que le graphe ne possède pas de boucle (arête ayant les deux extrémités qui coïncident). L'ordre cyclique est crucial dans la définition ; en guise d'exemple, les deux derniers dessins sur la droite de la figure 1 sont distincts tout en correspondant au même graphe abstrait.
Le degré d'un dessin d'enfant est le nombre d'arêtes qui le composent. La valence d'un sommet est le nombre d'arêtes auxquelles il appartient. Le degré est donc égal à la somme des valences des sommets blancs (ou la somme des valences des sommets noirs). Il existe un nombre fini de dessins d'enfants de degré fixé.
Soit la sphère privée de trois points et . Ayant fixé un point base de , le groupe fondamental topologique est libre, engendré par deux éléments. De manière plus précise, les lacets simples et autour de et constituent des générateurs canoniques de , le lacet autour de étant obtenu par la relation . On rappelle qu'il existe une bijection entre l'ensemble des classes d'isomorphie de revêtements topologiques (finis) de et les classes de conjugaison de sous-groupes d'indice fini de .
Étant donné un dessin d'enfant, il est maintenant possible de définir une action à droite de sur l'ensemble de ses arêtes : le générateur (resp.
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