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Concept
Loi demi-normale
Résumé
In probability theory and statistics, the half-normal distribution is a special case of the folded normal distribution.
Let follow an ordinary normal distribution, . Then, follows a half-normal distribution. Thus, the half-normal distribution is a fold at the mean of an ordinary normal distribution with mean zero.
Using the parametrization of the normal distribution, the probability density function (PDF) of the half-normal is given by
where .
Alternatively using a scaled precision (inverse of the variance) parametrization (to avoid issues if is near zero), obtained by setting , the probability density function is given by
where .
The cumulative distribution function (CDF) is given by
Using the change-of-variables , the CDF can be written as
where erf is the error function, a standard function in many mathematical software packages.
The quantile function (or inverse CDF) is written:
where and is the inverse error function
The expectation is then given by
The variance is given by
Since this is proportional to the variance σ2 of X, σ can be seen as a scale parameter of the new distribution.
The differential entropy of the half-normal distribution is exactly one bit less the differential entropy of a zero-mean normal distribution with the same second moment about 0. This can be understood intuitively since the magnitude operator reduces information by one bit (if the probability distribution at its input is even). Alternatively, since a half-normal distribution is always positive, the one bit it would take to record whether a standard normal random variable were positive (say, a 1) or negative (say, a 0) is no longer necessary. Thus,
The half-normal distribution is commonly utilized as a prior probability distribution for variance parameters in Bayesian inference applications.
Given numbers drawn from a half-normal distribution, the unknown parameter of that distribution can be estimated by the method of maximum likelihood, giving
The bias is equal to
which yields the bias-corrected maximum likelihood estimator
The distribution is a special case of the folded normal distribution with μ = 0.
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Truncated normal distribution
In probability and statistics, the truncated normal distribution is the probability distribution derived from that of a normally distributed random variable by bounding the random variable from either below or above (or both). The truncated normal distribution has wide applications in statistics and econometrics. Suppose has a normal distribution with mean and variance and lies within the interval . Then conditional on has a truncated normal distribution. Its probability density function, , for , is given by and by otherwise.
Loi demi-normale
En théorie des probabilités et en statistique, la loi demi-normale est un cas particulier de la loi normale repliée. Soit une variable aléatoire de loi normale centrée, , alors est de loi demi-normale. En particulier, la loi demi-normale est une loi normale repliée de paramètre 0 et . La densité de probabilité de la loi demi-normale est donnée par : L'espérance est : En faisant le changement de variable : , utile lorsque est proche de zéro, la densité prend la forme : L'espérance est alors : La fonction de répartition de la loi demi-normale est donnée par : En utilisant le changement de variable , la fonction de répartition peut s'écrire où erf est la fonction d'erreur.
Loi normale repliée
En théorie des probabilités et en statistique, la loi normale repliée (ou loi de défaut de forme) est une loi de probabilité continue liée à la loi normale. Considérons une variable aléatoire de loi normale avec moyenne et variance , alors la variable aléatoire est de loi normale repliée. Ainsi on ne comptabilise que la valeur de la variable mais pas son signe. Le terme « repliée » vient du fait que la densité de la loi « à gauche » de x=0 est repliée sur la partie « à droite » de x=0 en prenant la valeur absolue.
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