In mathematics, the splitting principle is a technique used to reduce questions about vector bundles to the case of line bundles. In the theory of vector bundles, one often wishes to simplify computations, say of Chern classes. Often computations are well understood for line bundles and for direct sums of line bundles. In this case the splitting principle can be quite useful. Let be a vector bundle of rank over a paracompact space . There exists a space , called the flag bundle associated to , and a map such that the induced cohomology homomorphism is injective, and the pullback bundle breaks up as a direct sum of line bundles: The theorem above holds for complex vector bundles and integer coefficients or for real vector bundles with coefficients. In the complex case, the line bundles or their first characteristic classes are called Chern roots. The fact that is injective means that any equation which holds in (say between various Chern classes) also holds in . The point is that these equations are easier to understand for direct sums of line bundles than for arbitrary vector bundles, so equations should be understood in and then pushed down to . Since vector bundles on are used to define the K-theory group , it is important to note that is also injective for the map in the above theorem. The splitting principle admits many variations. The following, in particular, concerns real vector bundles and their complexifications: Let be a real vector bundle of rank over a paracompact space . There exists a space and a map such that the induced cohomology homomorphism is injective, and the pullback bundle breaks up as a direct sum of line bundles and their conjugates: Under the splitting principle, characteristic classes for complex vector bundles correspond to symmetric polynomials in the first Chern classes of complex line bundles; these are the Chern classes.

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Concepts associés (3)
K-théorie
En mathématiques, la K-théorie est un outil utilisé dans plusieurs disciplines. En topologie algébrique, la sert de théorie de cohomologie. Une variante est utilisée en algèbre sous le nom de K-théorie algébrique. Les premiers résultats de la K-théorie ont été dans le cadre de la topologie algébrique, comme une théorie de cohomologie extraordinaire (elle ne vérifie pas l'axiome de dimension). Par la suite, ces méthodes ont été utilisées dans beaucoup d'autres domaines comme la géométrie algébrique, l'algèbre, la théorie des nombres, la théorie des opérateurs, etc.
Fibré en droites
En mathématiques, un fibré en droites est une construction qui décrit une droite attachée en chaque point d'un espace. Par exemple, une courbe dans le plan possède une tangente en chaque point, et si la courbe est suffisamment lisse alors la tangente évolue de manière « continue » lorsqu'on se déplace sur la courbe. De manière plus formelle on peut définir un fibré en droites comme un fibré vectoriel de rang 1.
Classe de Chern
En mathématiques, les classes de Chern sont des classes caractéristiques associées aux fibrés vectoriels. Elles tiennent leur nom du mathématicien sino-américain Shiing-Shen Chern, qui les a introduites en 1946 dans le cas complexe. Les classes de Chern ont des applications importantes en mathématiques, notamment en topologie et géométrie algébriques, et en physique dans l'étude des théories de Yang-Mills et des champs quantiques. Distinguer deux fibrés vectoriels sur une variété lisse est en général un problème difficile.

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