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Concept
Catégorification
Résumé
En mathématiques, la catégorification est le processus qui consiste à remplacer des théorèmes de la théorie des ensembles par des analogues de la théorie des catégories. La catégorification, lorsqu'elle est effectuée avec succès, remplace les ensembles par des catégories, les fonctions par des foncteurs et les équations par des isomorphismes naturels de foncteurs qui possèdent des propriétés supplémentaires. Il faut noter que le but est d'étudier l'objet qui a été « catégorifié » grâce aux structures supplémentaires et aux méthodes abstraites auxquelles on accède par cette construction. Le terme a été inventé par .
Le processus inverse de la catégorification est le processus de décatégorification. La décatégorification est un processus systématique par lequel les objets isomorphes d'une catégorie sont identifiés. Alors que la décatégorification est un processus simple, la catégorification est généralement beaucoup plus difficile. Dans la théorie des représentations des algèbres de Lie, les principaux objets d'études sont des modules sur des algèbres particulières et il existe plusieurs cadres pour ce que devrait être une catégorification d'un tel module, par exemple les catégorifications dites abéliennes (faibles).
La catégorification et la décatégorification ne sont pas des procédures mathématiques précises mais plutôt un ensemble de méthodes pour construire des analogues. Ils sont utilisés de la même manière que des mots comme « généralisation », et non comme « faisceautisation ».
Une forme de catégorification consiste à prendre une structure décrite en termes d'ensembles et à interpréter les ensembles comme des classes d'isomorphisme d'objets dans une catégorie.
Par exemple, l'ensemble des nombres naturels peut être vu comme l'ensemble des cardinaux des ensembles finis (deux ensembles quelconques ayant le même cardinal sont isomorphes, c'est-à-dire en bijection l'un avec l'autre). Les opérations sur l'ensemble des nombres naturels, telles que l'addition et la multiplication, peuvent alors être considérées comme les « traces » du coproduit (réunion disjointe) et du produit (produit cartésien) dans la .
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