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Concept
Division harmonique
Résumé
En géométrie affine, quatre points alignés sont en division harmonique quand ils vérifient l'égalité des rapports de mesure algébrique indiquée ci-contre. Elle apparait naturellement dans plusieurs figures géométriques, par exemple le quadrilatère complet. C'est plus fondamentalement une notion de géométrie projective, puisqu'il s'agit d'exprimer qu'un birapport vaut –1.
Elle permet de définir la conjugaison harmonique, que l'on retrouve dans la conjugaison par rapport à deux droites, par rapport à un cercle, et plus généralement par rapport à une conique, c'est-à-dire (en projectif) à l'orthogonalité par rapport à la forme quadratique qui la définit.
On dit que le réel b est la moyenne harmonique de c et d si .
Quatre points A, B, C, D (dans cet ordre) d'une droite sont dits en division harmonique si
est la moyenne harmonique de et , soit s'ils vérifient la relation de Descartes :
On peut encore écrire cette relation sous la forme
c'est-à-dire
que l'on préfère mettre sous la forme
La quantité qui dans le cas présent prend la valeur –1
se nomme le birapport ou rapport anharmonique des quatre points ; c'est un invariant intéressant en géométrie projective.
On dit également que C et D divisent harmoniquement le segment [AB]. Du fait du signe du birapport, l'un de ces deux points est à l'intérieur du segment [CD] et l'autre à l'extérieur. De plus, les rapports de longueur CA/CB et DA/DB sont égaux.
La relation a plusieurs symétries : si A et B divisent harmoniquement [CD], alors d'une part B et A également, d'autre part C et D divisent harmoniquement [AB]. La division harmonique ne dépend donc que de la paire de paires de points l'ordre entre les deux paires et à l'intérieur de celles-ci étant indifférent, ce qui fait 8 permutations (identité comprise) sur les 24 possibles. On montre que les 16 autres permutations ne conservent pas la division harmonique : l'ordre entre les quatre points n'est pas indifférent.
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