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Concept
Dualité (géométrie projective)
Résumé
La dualité projective, découverte par Jean-Victor Poncelet, est une généralisation de l'analogie entre le fait que par deux points distincts passe une droite et une seule, et le fait que deux droites distinctes se coupent en un point et un seul (à condition de se placer en géométrie projective, de sorte que deux droites parallèles se rencontrent en un point à l'infini). La dualité projective affirme que tout théorème de la géométrie projective du plan (donc ne faisant pas appel aux notions métriques de distances et d'angles, ni aux notions affines de parallélisme et de proportion), comme le théorème de Desargues ou le théorème de Pappus, donne naissance à un autre théorème, appelé théorème dual, obtenu en échangeant les mots de points et de droites dans son énoncé.
Contrairement à la géométrie plane classique où les droites sont des ensembles de points, il vaut mieux considérer en géométrie projective que le plan projectif P est constitué d'un ensemble de points , d'un ensemble de droites , et d'une relation indiquant quels points sont sur quelle droite (ou quelles droites passent par quel point). Pour bien comprendre que c'est cette relation qui est importante et non la nature des points et des droites, le mathématicien David Hilbert aurait dit : .
Nous considérons dans un premier temps que le plan projectif P est défini de manière axiomatique ; on constate alors que l'on obtient un autre plan projectif en considérant l'objet P* dont les « points » sont les droites de P et les « droites » sont les points de P, une droite de P* (qui est un point M de P) passant par un « point » de P* (qui est une droite D de P) lorsque D passe par M.
Pour simplifier, au lieu de travailler sur deux plans différents, P et P*, on peut se contenter de travailler sur un seul plan projectif P.
Une corrélation est une transformation des points du plan en droites et des droites du plan en points et qui respecte l'incidence.
Une polarité est une corrélation involutive, c’est-à-dire que la corrélation de la corrélation est la transformation identique.
Source officielle
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