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Concept
Birapport
Résumé
Le birapport, ou rapport anharmonique selon la dénomination de Michel Chasles est un outil puissant de la géométrie, en particulier la géométrie projective. La notion remonte à Pappus d'Alexandrie, mais son étude systématique est réalisée en 1827 par Möbius.
thumb|Les divisions sont supposées régulières. Le birapport de C, D par rapport à A, B est : .
thumb|Les divisions sont supposées régulières. Le birapport de C, D par rapport à A, B est : .
Si A, B, C et D sont quatre points distincts d'une droite (d), le birapport, ou rapport anharmonique de ces quatre points est formé à partir des rapports des mesures algébriques des segments qu'ils découpent de la manière suivante :
Définir des mesures algébriques demande ordinairement d'introduire
un repère sur la droite (d) ; mais les rapports de mesures algébriques
sont en fait indépendants du repère introduit. La notion de birapport a donc un sens en géométrie affine, c'est-à-dire sans référence à une structure euclidienne. Si on utilise des unités de longueur, le birapport est une grandeur indépendante du choix d'unité.
Il n'existe pas de notation universelle pour le birapport : on trouve par exemple les écritures
De par son expression, le birapport vérifie un certain nombre de propriétés de symétrie lorsqu'on permute les points : échanger A et B d'une part, C et D d'autre part est sans effet. De même si on échange le couple
(A, B) et le couple (C, D). On peut donc considérer le birapport comme attaché
à la paire de paires .
Lorsqu'on ne précise pas l'ordre des points sur la droite, selon les permutations, le birapport ne prend pas 4! = 24 valeurs mais seulement six :
Les fonctions correspondantes (telles que ) forment un groupe isomorphe au groupe symétrique .
Cela s'explique de la façon suivante : les permutations (autre que l'identité) qui laissent le birapport invariant sont
(on les a notées par leur décomposition en produit de cycles à support disjoints). Elles forment un sous-groupe normal de , isomorphe au groupe de Klein, et le groupe des valeurs du birapport est donc le groupe quotient de par ce sous-groupe normal.
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