En mathématiques, la symétrisation d'un monoïde est une opération de construction d'un groupe dans lequel se projette le monoïde initial, de manière naturelle. On parle parfois de groupe de Grothendieck du monoïde considéré. Ce procédé est notamment appliqué pour construire l'ensemble des entiers relatifs à partir de celui des entiers naturels.
Si le monoïde de départ est muni d'une seconde loi de composition qui en fait un semi-anneau commutatif, son symétrisé est un anneau commutatif.
La construction s’étend au cas non commutatif avec la notion de groupe universel enveloppant.
Tout groupe abélien est en particulier un monoïde commutatif, de sorte qu'il existe un foncteur d'oubli de la catégorie des groupes abéliens dans la catégorie des monoïdes commutatifs. Ce foncteur admet un adjoint à gauche G, qui vérifie alors la propriété universelle suivante : pour tout groupe abélien K, de monoïde sous-jacent F(K), tout morphisme de monoïdes correspond à un morphisme de groupes . Cela garantit notamment l'unicité à isomorphisme près.
Si A est un monoïde commutatif, le groupe G(A) est alors appelé symétrisé de A.
Une manière de rendre explicite la définition ci-dessus est de considérer le monoïde produit , c'est-à-dire le produit cartésien muni des opérations coordonnée par coordonnée, modulo la relation d'équivalence
On peut alors comprendre un élément (a, b) du monoïde produit comme correspondant à l'élément « a - b » du groupe. Ainsi, la classe d'équivalence de (a, a) est l'identité, et l'inverse de (a, b) est (b, a).
Si le monoïde est abélien et muni d'une seconde loi qui en fait un semi-anneau commutatif, la multiplication sur le symétrisé est définie par la formule suivante :
Il y a un homomorphisme injectif d'un monoïde commutatif dans son symétrisé si et seulement si le monoïde est simplifiable.
S'il existe un homomorphisme injectif d'un monoïde commutatif et simplifiable dans un groupe , alors le sous-groupe de engendré par est isomorphe au symétrisé du monoïde ( ). On dit parfois que est le plus petit groupe contenant .
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Algebraic K-theory, which to any ring R associates a sequence of groups, can be viewed as a theory of linear algebra over an arbitrary ring. We will study in detail the first two of these groups and a
Le produit tensoriel de deux modules est une construction en théorie des modules qui, à deux modules sur un même anneau commutatif unifère A, assigne un module. Le produit tensoriel est très important dans les domaines de l'analyse fonctionnelle, de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique. Le produit tensoriel permet en outre de ramener l'étude d'applications bilinéaires ou multilinéaires à des applications linéaires.
In mathematics, the notion of cancellativity (or cancellability) is a generalization of the notion of invertibility. An element a in a magma (M, ∗) has the left cancellation property (or is left-cancellative) if for all b and c in M, a ∗ b = a ∗ c always implies that b = c. An element a in a magma (M, ∗) has the right cancellation property (or is right-cancellative) if for all b and c in M, b ∗ a = c ∗ a always implies that b = c. An element a in a magma (M, ∗) has the two-sided cancellation property (or is cancellative) if it is both left- and right-cancellative.
Le lemme de Nakayama est un résultat fondamental d'algèbre commutative. Il doit son origine à , et Wolfgang Krull. Un énoncé général est le suivant : La démonstration de cet énoncé général se ramène à celle du cas particulier N = 0, c'est pourquoi le lemme de Nakayama est souvent énoncé sous cette forme : Le corollaire suivant est parfois également énoncé sous le nom de « lemme de Nakayama » : (En effet, pour tout élément a de R, 1 + a est inversible.) Soit une famille génératrice de M. Il existe des tels que pour tout i, .
Let X /S be a flat algebraic stack of finite presentation. We define a new & eacute;tale fundamental pro-groupoid pi(1)(X /S), generalizing Grothendieck's enlarged & eacute;tale fundamental group from SGA 3 to the relative situation. When S is of equal pos ...
GEOMETRY & TOPOLOGY PUBLICATIONS2022
The sheaf-function correspondence identifies the group of constructible functions on a real analytic manifold M with the Grothendieck group of constructible sheaves on M. When M is a finite dimensional real vector space, Kashiwara-Schapira have recently in ...
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The theory of persistence, which arises from topological data analysis, has been intensively studied in the one-parameter case both theoretically and in its applications. However, its extension to the multi-parameter case raises numerous difficulties, wher ...