Concept

Symétrisation

Résumé
En mathématiques, la symétrisation d'un monoïde est une opération de construction d'un groupe dans lequel se projette le monoïde initial, de manière naturelle. On parle parfois de groupe de Grothendieck du monoïde considéré. Ce procédé est notamment appliqué pour construire l'ensemble des entiers relatifs à partir de celui des entiers naturels. Si le monoïde de départ est muni d'une seconde loi de composition qui en fait un semi-anneau commutatif, son symétrisé est un anneau commutatif. La construction s’étend au cas non commutatif avec la notion de groupe universel enveloppant. Définition Définition par adjonction Tout groupe abélien est en particulier un monoïde commutatif, de sorte qu'il existe un foncteur d'oubli F : \mathrm{AGrp} \to \mathrm{CMon} de la catégorie des groupes abéliens dans la catégorie des monoïdes commutatifs. Ce foncteur admet un adjoint à gauche G, qui vérifie alors la propriété universelle suivante : pour tout groupe abélie
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