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Concept
Produit tensoriel de deux modules
Résumé
Le produit tensoriel de deux modules est une construction en théorie des modules qui, à deux modules sur un même anneau commutatif unifère A, assigne un module. Le produit tensoriel est très important dans les domaines de l'analyse fonctionnelle, de la topologie algébrique et de la géométrie algébrique. Le produit tensoriel permet en outre de ramener l'étude d'applications bilinéaires ou multilinéaires à des applications linéaires.
Lorsque M, N et F sont trois A-modules, on appelle application bilinéaire une application f : M × N → F, telle que :
f est linéaire à gauche, c'est-à-dire que .
f est linéaire à droite, c'est-à-dire que .
Pour ramener l'étude des applications bilinéaires à celle des applications linéaires, on se propose de définir un module M⊗N et une application bilinéaire tels que toute application bilinéaire se factorise de manière unique à droite par , c'est-à-dire qu'il existe une et une seule application linéaire telle que .
On va prouver qu'un tel couple existe et est unique à un isomorphisme près.
Soient M et N deux A-modules. L'espace C = A est le A-module des combinaisons linéaires formelles (à coefficients dans A) d'éléments de M × N. Un tel espace peut également être défini de manière équivalente comme le A-module des applications de M × N dans A nulles partout sauf sur un nombre fini d'éléments. C est un A-module libre dont est la base canonique, en ayant défini comme la combinaison linéaire formelle ayant pour seul coefficient non nul le coefficient devant , où ce coefficient est le neutre multiplicatif de A, autrement dit et
pour .
On souhaite que les éléments de la forme
soient identifiés comme nuls. On appelle donc D le sous-module de C engendré par les éléments de la forme précédente. On appelle produit tensoriel de M et N, et l'on note M⊗N le module quotient C/D. Il est important de préciser l'anneau des scalaires A dans la notation du produit tensoriel. Néanmoins, si la situation est assez claire, on peut se permettre de ne pas trop surcharger les notations. On note la classe de dans M⊗N.
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