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Concept
Catégorie homotopique des complexes de chaînes
Résumé
En algèbre homologique, la catégorie homotopique K(A) des complexes de chaînes dans une catégorie additive A est un cadre pour travailler avec des complexes de chaînes et équivalences homotopiques. Elle est un intermédiaire entre la catégorie des complexes de chaînes Kom(A) de A et la catégorie dérivée D(A) de A lorsque A est abélien ; contrairement à la première, c'est une catégorie triangulée, et contrairement à la seconde, sa construction n'exige pas que A soit abélien. Moralement, alors que D(A) transforme en isomorphismes toutes applications de complexes de chaînes qui sont des quasi-isomorphismes dans Kom(A), K(A) effectue la même transformation en quasi-isomorphismes que pour une « bonne raison », à savoir ceux qui ont effectivement un inverse à équivalence d'homotopie près. Ainsi, K(A) est plus compréhensible que D(A).
Soit A une catégorie additive. La catégorie homotopique K(A) est basée sur la définition suivante : si on a des complexes A, B et des applications f, g de A à B, une homotopie de chaîne de f à g est une collection d'applications (et non un morphisme de complexes) telle que
ou simplement
Cela peut être représenté comme suit :
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Si f et g sont homotopes, on dit que est homotope à 0. L'ensemble des morphismes de complexes qui sont homotope à 0 forme un groupe additif.
La catégorie homotopique des complexes de chaînes complexes K(A) est alors définie comme suit : ses objets sont les mêmes que les objets de Kom(A), à savoir les complexes de chaînes. Ses morphismes sont les « morphismes de complexes modulo homotopie » : c'est-à-dire qu'on définit une relation d'équivalence
si f est homotope à g
et on définit
le quotient par cette relation ; il en résulte une catégorie additive.
Un morphisme qui est un isomorphisme dans K(A) s'appelle une équivalence d'homotopie. Cela signifie qu'il existe une autre application , tel que les deux compositions soient homotopes à l'identité : et .
Le nom « homotopie » vient du fait que les applications homotopes d'espaces topologiques induisent des applications homotopes (au sens ci-dessus) de chaînes singulières.
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