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Concept
Jauge de Lorenz
Résumé
La jauge de Lorenz est une condition que l'on peut introduire en électromagnétisme ; cette condition tient son nom du physicien danois Ludvig Lorenz (elle est souvent attribuée au physicien Hendrik Lorentz, probablement en raison de son invariance sous les transformations de Lorentz). L'introduction de la condition impose un lien entre le potentiel scalaire et le potentiel vecteur associés aux champs électrique et magnétique ; les composantes du potentiel vecteur et le potentiel scalaire forment alors le quadrivecteur potentiel. Cette jauge particulière s'est avérée pratique, permettant une description totalement relativiste de l'électrodynamique.
La relation définissant ce choix de jauge est la suivante :
Son origine provient du fait que disposant des équations de Maxwell, on montre que la propagation des champs et dans le vide vérifie l'équation de d'Alembert (voir établissement de l'équation de propagation à partir des équations de Maxwell).
Avec ce choix de jauge, on peut montrer que le potentiel scalaire vérifie lui aussi l'équation de d'Alembert :
Tout d'abord, l'équation de Maxwell-Faraday s'écrit :
d'où ; donc est un gradient et pour être cohérent avec l'expression en statique , il faut :
L'équation de Maxwell-Gauss (avec une densité de charge nulle) devient alors :
donc
Il faut donc poser (c'est la jauge de Lorenz) pour avoir :
De plus, on constate que cette jauge permet aussi au potentiel vecteur de vérifier l'équation de d'Alembert. Il suffit d'écrire que :
or alors avec Maxwell-Ampère dans le vide (donc le vecteur densité de courant est nul) :
or on a toujours : donc
Par conséquent avec la jauge de Lorenz, , vérifie l'équation de d'Alembert :
La jauge de Lorenz est donc la condition sur les potentiels (vecteur et scalaire) pour qu'ils se déplacent de la même manière que les champs et . Dans le cas général, où les distributions de charge et de courant ne sont plus nécessairement identiquement nulles, les potentiels scalaire et vecteur vérifient l'équation de d'Alembert inhomogène :
Ces équations évoquent explicitement que sous la jauge de Lorenz, les potentiels électromagnétiques sont intimement liés par l'intermédiaire du formalisme de la relativité restreinte.
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