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Concept
Opérateur laplacien
Résumé
L'opérateur laplacien, ou simplement le laplacien, est l'opérateur différentiel défini par l'application de l'opérateur gradient suivie de l'application de l'opérateur divergence :
Intuitivement, il combine et relie la description statique d'un champ (décrit par son gradient) aux effets dynamiques (la divergence) de ce champ dans l'espace et le temps. C'est l'exemple le plus simple et le plus répandu d'opérateur elliptique.
Il apparaît dans la formulation mathématique de nombreuses disciplines théoriques, comme la géophysique, l'électrostatique, la thermodynamique, la mécanique classique et quantique. On le retrouve systématiquement dans les expressions de l'équation de Laplace, de l'équation de Poisson, de l'équation de la chaleur et l'équation d'onde.
L'opérateur laplacien appliqué deux fois est appelé bilaplacien.
Une manière d'aborder la compréhension du laplacien est de remarquer qu'il représente l'extension en dimension trois (ou deux, ou plus) de ce qu'est la dérivée seconde en dimension un.
De même que le gradient est l'équivalent en 3D de la variation temporelle, de même le laplacien reflète la dérivée seconde qu'est l'accélération : il prend des valeurs importantes dans des zones qui sont fortement concaves ou convexes, c'est-à-dire qui marquent un déficit par rapport au plan de « distribution moyenne » que matérialise le gradient. Une valeur importante (en positif ou négatif) du laplacien signifie que localement, la valeur du champ scalaire est assez différente de la moyenne de son environnement ; et sur le plan dynamique, cette différence de valeur demande à être comblée.
D'une manière générale, on aura donc des équations physiques traduisant que la vitesse d'évolution d'une grandeur physique en un point sera d'autant plus grande que le laplacien est important en ce point, le rapport entre les deux étant donné par un coefficient de diffusion.
C'est ce que traduit par exemple l'équation de la chaleur :
= .
La vitesse de variation de la température en un point est (à un coefficient près) d'autant plus grande que l'écart de température avec la moyenne de son entourage est important.
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