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Concept
Nabla
Résumé
Nabla, noté ou selon les conventions utilisées, est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction en analyse vectorielle qu'une connexion de Koszul en géométrie différentielle. Les deux notions sont reliées, ce qui explique l'utilisation d'un même symbole. En physique, il est utilisé en dimension 3 pour représenter aisément plusieurs opérateurs vectoriels, couramment utilisés en électromagnétisme et en dynamique des fluides.
C'est un moyen mnémotechnique pour les opérateurs différentiels de champs : les formules du gradient, de la divergence et du rotationnel se retrouvent en appliquant les règles habituelles du produit scalaire et du produit vectoriel à cet opérateur ; néanmoins la formule du laplacien vectoriel (qui s'écarte de la formule du double produit vectoriel) montre les limites de ce formalisme (à l'origine du concept d'algèbre géométrique).
La forme de nabla vient de la lettre grecque delta majuscule (Δ) renversée, à cause d'une utilisation comparable, la lettre grecque à l'endroit étant déjà utilisée pour désigner un opérateur, le laplacien, en calcul différentiel.
La définition du nabla a été introduite en 1847, quoique sans intitulé, par William Rowan Hamilton, et Peter Guthrie Tait en a développé la théorie à partir de 1867. Temporairement surnommé avec malice « atled » (« delta » à l'envers) par James Maxwell dans ses correspondances, le nom nabla lui fut donné par Tait sur l'avis de William Robertson Smith, en 1870, par analogie de forme avec une harpe hébraïque qui dans l'antiquité portait ce nom (νάβλα, nábla en grec, et נבל en hébreu). Dans les Psaumes, nabla désigne un instrument de musique sur lequel joue le roi David.
Nabla est un opérateur différentiel vectoriel. En coordonnées cartésiennes par rapport à une base de l'espace euclidien de trois dimensions, il s'écrit sous la forme :
ou sous forme matricielle :
Dans la définition d'origine proposée par le mathématicien et physicien irlandais William Rowan Hamilton, la base était initialement formée par les trois éléments de base des quaternions.
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