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Concept
Hélice (géométrie)
Résumé
En géométrie, l'hélice est une courbe dont la tangente en chaque point fait un angle constant avec une direction donnée. Selon le théorème de Lancret, les hélices sont les seules courbes pour lesquelles le rapport entre la courbure et la torsion soit constant.
On utilise parfois le mot hélice dans le sens restrictif dhélice circulaire tracée sur un cylindre de révolution.
Il existe de nombreux types d'hélices, certaines sont désignés en référence à leur courbe directrice (Γ), d'autres en référence à la surface sur laquelle elles sont tracées. On peut citer
Une hélice circulaire est inscrite sur un cylindre de révolution. L'axe de ce cylindre est appelé axe de l'hélice, le rayon de ce cylindre est appelé rayon de l'hélice. Toute droite tracée sur le cylindre est coupée par l'hélice en intervalles réguliers dont la longueur fixe est appelée le pas de l'hélice.
Pour obtenir une hélice circulaire de manière simple, prendre une feuille rectangulaire, tracer un trait sur une diagonale et enrouler la feuille pour former un cylindre d'axe parallèle à son grand ou à son petit côté; le trait dessine une hélice. C'est aussi la forme des ressorts à boudin, des solénoïdes, des s et taraudages et des rampes d'escaliers en colimaçon.
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct , il existe deux hélices circulaires infinies d'axe , de rayon a et de pas 2πb dont les équations paramétriques rectangulaires sont:
où ε vaut 1 (hélice dextre) ou -1 (hélice senestre).
Les équations paramétriques en coordonnées cylindriques sont:
où ε vaut 1 ou -1.
Si on pose c = a + b, les équations paramétriques en paramétrage normal sont
où ε vaut 1 ou -1.
La projection d'une hélice circulaire sur un plan orthogonal à son axe est un cercle. Sur un plan parallèle à son axe, elle se projette selon une sinusoïde.
La longueur d'un arc d'hélice circulaire de rayon a et de pas 2πb pris entre les paramètres t et t vaut :
où c = a + b
Si on note
La dérivée de f est :
Ce vecteur est de norme c = et fait avec le vecteur un angle constant θ tel que
On appelle angle de l'hélice le complémentaire α de l'angle θ.
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