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Concept
Loi hypergéométrique
Résumé
La loi hypergéométrique de paramètres associés , et est une loi de probabilité discrète, décrivant le modèle suivant :
On tire simultanément (ou successivement sans remise (mais cela induit un ordre)) boules dans une urne contenant boules gagnantes et boules perdantes (avec , soit un nombre total de boules valant = ). On compte alors le nombre de boules gagnantes extraites et on appelle la variable aléatoire donnant ce nombre.
L'univers est l'ensemble des entiers de 0 à . La variable suit alors la loi de probabilité définie par
(probabilité d'avoir succès).
Cette loi de probabilité s'appelle la loi hypergéométrique de paramètres et l'on note .
Il est nécessaire que soit un réel compris entre 0 et 1, que soit entier et que . Lorsque ces conditions ne sont pas imposées, l'ensemble des possibles est l'ensemble des entiers entre et .
Un lac renferme une centaine de poissons dont un quart sont des brochets. On pêche 10 poissons ; la loi du nombre de brochets dans la prise est .
On trouve alors pour les couples successifs :
(0, 5%), (1, 18%), (2, 30%), (3, 26%), (4, 15%), (5, 5%), (6, 1%), (7, 0%), (8, 0%), (9, .0%), (10, 0%)
Donc un maximum de chances pour 2 ou 3 brochets. D'ailleurs, l'espérance du nombre de brochets vaut 10/4 = 2,5.
Il s'agit d'un tirage simultané (c'est-à-dire non ordonné et sans remise, même si la loi de probabilité resterait la même si l'on décidait d'ordonner le tirage car cela reviendrait à multiplier par le numérateur et le dénominateur de la quantité ) de éléments parmi , tirage que l'on considère comme équiprobable.
La combinatoire permet de dire que le cardinal de l'univers est .
L'évènement (voir tableau) représente le cas où l'on a tiré boules gagnantes parmi et boules perdantes parmi . Le cardinal de cet événement est donc .
La probabilité de l'évènement est donc .
Remarque : comme pour toute densité de probabilité, la somme des vaut 1, ce qui prouve l'identité de Vandermonde.
L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi hypergéométrique de paramètres , est la même que celle d'une variable binomiale de paramètres : .
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