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Concept
Loi bêta-binomiale
Résumé
En théorie des probabilités, la loi bêta-binomiale est une loi de probabilité discrète à support fini, correspondant à un processus de tirages Bernoulli dont la probabilité de succès est aléatoire (suivant une loi bêta). Elle est fréquemment utilisée en inférence bayésienne.
La loi de Bernoulli en est un cas particulier pour le paramètre n = 1. Pour α = β = 1, elle correspond à la loi uniforme discrète sur {0,..,n} . Elle approche également la loi binomiale lorsque les paramètres α et β sont arbitrairement grands. La loi bêta-binomiale est une version unidimensionnelle de la loi de Pólya multivariée, similairement aux lois binomiale et bêta qui sont respectivement des cas spéciaux des lois multinomiale et de Dirichlet.
La loi bêta est la loi conjuguée de la loi binomiale. Ceci résulte d'un changement analytique d'une loi composée où le paramètre p de la loi binomiale est aléatoire et donné par une loi bêta. Plus précisément, si
est la loi binomiale où est une variable aléatoire de loi bêta
alors la loi composée est donnée par
En utilisant les propriétés de la fonction bêta, ceci peut être écrit de la manière suivante :
Dans ce contexte, la loi bêta-binomiale apparaît souvent en inférence bayésienne : la loi bêta binomiale est la loi prédictive d'une variable aléatoire binomiale avec une probabilité de succès donnée par une loi bêta.
La loi bêta-binomiale peut également être représentée par un modèle d'urnes, pour des paramètres α et β entiers positifs. Plus précisément, on considère une urne contenant α boules rouges et β boules noires, on effectue alors des tirages aléatoires. Si une boule rouge est tirée, alors deux boules rouges sont replacées dans l'urne (elle-même plus une autre). De la même manière, si une boule noire est tirée, elle est remise avec une autre boule noire dans l'urne. Si on répète cette opération n fois, alors la probabilité de tirer k boules rouges suit une loi bêta-binomiale de paramètres n, α et β.
Il est à noter que si après les tirages on replace une unique boule, alors la loi est binomiale, et si les tirages sont effectués sans remise, alors la loi est hypergéométrique.
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