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Concept
Structure (mathématiques)
Résumé
En mathématiques, une structure est une théorie plus forte que la théorie des ensembles, c'est-à-dire une théorie qui en contient tous les axiomes, signes et règles.
C'est donc une théorie fondée sur la théorie des ensembles, mais contenant également des contraintes supplémentaires, qui lui sont propres, et qui permettent également de définir de nouvelles structures qu'elle inclut. Cette notion est ainsi une puissante contribution à l'hypothèse selon laquelle la théorie des ensembles fournit le fondement des mathématiques.
Ce terme est à l'origine de ce que l'on a appelé structuralisme mathématique.
En histoire des mathématiques, quelque moderne et innovatrice que soit une notion nouvelle, il arrive fréquemment que l'on en observe rétrospectivement des traces jusque dans l'Antiquité. Ainsi, le calcul différentiel et intégral, inventé au par Leibniz et Newton, était déjà utilisé de manière embryonnaire et naïve chez Eudoxe et Archimède. Il en va de même avec l'invention de la notion de structure mathématique : son utilisation a précédé sa première formulation explicite. Il est par conséquent aussi aisé de repérer dans l'histoire des mathématiques les premiers auteurs définissant et commentant la notion de structure, que difficile de retrouver les premiers à l'avoir utilisée sans l'expliciter.
En arithmétique modulaire, l'idée de structure apparaît vraiment avec l'approche de Carl Friedrich Gauss dans les Disquisitiones arithmeticae (1801). Il étudie les restes de la division euclidienne sous un angle structurel ; c'est ainsi l'une des origines de la théorie des groupes.
En théorie de Galois, l'approche est essentiellement structurelle pour Évariste Galois à travers les symétries, chez Camille Jordan à travers la théorie des groupes, chez Leopold Kronecker à travers la théorie des corps.
En algèbre linéaire, l'idée de structure apparaît deux fois : en géométrie euclidienne, une approche axiomatique se fait finalement ressentir pour devenir obligatoire (cf.
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