Complétion d'une mesureEn mathématiques, une mesure μ est dite complète lorsque tout ensemble négligeable pour cette mesure appartient à la tribu sur laquelle μ est définie. Lorsqu'une mesure n'est pas complète, il existe un procédé assez simple de complétion de la mesure, c'est-à-dire de construction d'une mesure complète apparentée de très près à la mesure initiale. Ainsi la mesure de Lebesgue (considérée comme mesure sur la tribu de Lebesgue) est la complétion de la mesure dite parfois « mesure de Borel-Lebesgue », c'est-à-dire sa restriction à la tribu borélienne.
Mesure extérieureLa notion de mesure extérieure (ou mesure extérieure au sens de Carathéodory) est un concept, dû au mathématicien Constantin Carathéodory, qui généralise dans un cadre axiomatique une construction utilisée par Henri Lebesgue pour définir la mesure de Lebesgue des parties Lebesgue-mesurables de la droite réelle. Soit un ensemble.
Théorème d'extension de CarathéodoryEn théorie de la mesure, le théorème d'extension de Carathéodory est un théorème fondamental, qui est à la base de la construction de la plupart des mesures usuelles. Constitué par généralisation à un cadre abstrait des idées fondant la construction de la mesure de Lebesgue, et exposé sous diverses variantes, il est également mentionné par certains auteurs sous les noms de théorème de Carathéodory-Hahn ou théorème de Hahn-Kolmogorov (certaines sources distinguent un théorème de Carathéodory qui est l'énoncé d'existence, et un théorème de Hahn qui est l'énoncé d'unicité).
Symmetric differenceIn mathematics, the symmetric difference of two sets, also known as the disjunctive union, is the set of elements which are in either of the sets, but not in their intersection. For example, the symmetric difference of the sets and is . The symmetric difference of the sets A and B is commonly denoted by or The power set of any set becomes an abelian group under the operation of symmetric difference, with the empty set as the neutral element of the group and every element in this group being its own inverse.
Dimension topologiqueEn mathématiques, une dimension topologique est une notion destinée à étendre à des espaces topologiques la notion algébrique de dimension d'un espace vectoriel. C'est un invariant topologique, entier ou infini. Les trois principales dimensions topologiques sont les deux dimensions inductives ind et Ind et la dimension de recouvrement dim. Les dimensions Ind et dim coïncident pour tout espace métrisable ; si l'espace est de plus séparable, ses trois dimensions topologiques sont égales.
Mesure sigma-finieSoit (X, Σ, μ) un espace mesuré. On dit que la mesure μ est σ-finie lorsqu'il existe un recouvrement dénombrable de X par des sous-ensembles de mesure finie, c'est-à-dire lorsqu'il existe une suite (E) d'éléments de la tribu Σ, tous de mesure finie, avec Mesure finie Mesure de comptage sur un ensemble dénombrable Mesure de Lebesgue. En effet, l'ensemble des intervalles pour tous les nombres entiers est un recouvrement dénombrable de , et chacun des intervalles est de mesure 1.
Sigma additivitévignette|Illustration de la sigma additivité La sigma additivité, appelé aussi additivité dénombrable, est un concept en théorie de la mesure. Soit un ensemble et un ensemble de parties de . On dit que l'application μ est σ-additive sur lorsqu'elle vérifie la propriété suivante : si E1, E2, ... est une suite d'éléments de , si ces parties de sont deux à deux disjointes et si leur réunion E est aussi un élément de , alors la valeur μ(E) de μ sur cette réunion E est égale à la somme des valeurs de μ sur les parties Ek : Il s'agit d'une version plus forte de l'additivité simple.
Hausdorff paradoxThe Hausdorff paradox is a paradox in mathematics named after Felix Hausdorff. It involves the sphere (a 3-dimensional sphere in ). It states that if a certain countable subset is removed from , then the remainder can be divided into three disjoint subsets and such that and are all congruent. In particular, it follows that on there is no finitely additive measure defined on all subsets such that the measure of congruent sets is equal (because this would imply that the measure of is simultaneously , , and of the non-zero measure of the whole sphere).
Mesure localement finieIn mathematics, a locally finite measure is a measure for which every point of the measure space has a neighbourhood of finite measure. Let be a Hausdorff topological space and let be a -algebra on that contains the topology (so that every open set is a measurable set, and is at least as fine as the Borel -algebra on ). A measure/signed measure/complex measure defined on is called locally finite if, for every point of the space there is an open neighbourhood of such that the -measure of is finite.
Mesure intérieurement régulièreIn mathematics, an inner regular measure is one for which the measure of a set can be approximated from within by compact subsets. Let (X, T) be a Hausdorff topological space and let Σ be a σ-algebra on X that contains the topology T (so that every open set is a measurable set, and Σ is at least as fine as the Borel σ-algebra on X). Then a measure μ on the measurable space (X, Σ) is called inner regular if, for every set A in Σ, This property is sometimes referred to in words as "approximation from within by compact sets.
