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Concept
Base (algèbre linéaire)
Résumé
vignette|Le même vecteur peut être représenté dans deux bases différentes (flèches violettes et rouges).
En mathématiques, une base d'un espace vectoriel V est une famille de vecteurs de V linéairement indépendants et dont tout vecteur de V est combinaison linéaire. En d'autres termes, une base de V est une famille libre de vecteurs de V qui engendre V.
alt=|vignette|upright=2|.
La géométrie plane, celle d'Euclide, peut comporter une approche algébrique, celle de Descartes. En utilisant les coordonnées cartésiennes, on peut identifier un vecteur du plan à un couple de réels. Par exemple, la figure montre comment placer le vecteur . On se sert alors des deux vecteurs de référence (dessinés en violet et rouge) pour le dessiner. Ainsi, tous les vecteurs du plan peuvent être exprimés de manière unique en termes de nombres vis-à-vis de deux vecteurs de référence. Ces deux vecteurs sont appelés base canonique du plan. En les notant respectivement et , un vecteur quelconque du plan s'exprime comme combinaison linéaire de ces deux vecteurs :
où et sont des nombres réels. Par exemple,
Cette écriture permet d'effectuer des calculs simplement. Par exemple, on peut additionner deux vecteurs et (où , , et sont des réels) de la façon suivante :
Cette addition a une signification géométrique. Ainsi, il existe des connexions entre géométrie et calcul algébrique.
Cette base n'est pas unique. En fait, n'importe quel couple de vecteurs du plan choisi au hasard forme une base, à condition que les deux vecteurs ne soient pas colinéaires (c'est-à-dire qu'il s'agit d'une famille libre). Les deux vecteurs peuvent alors être utilisés pour exprimer tous les autres vecteurs (c'est-à-dire qu'il s'agit d'une famille génératrice). La décomposition selon ces deux vecteurs est alors unique. La figure ci-contre montre une autre base du plan. Travailler dans d'autres bases que la base canonique permet de simplifier grandement les calculs, si la base choisie est adaptée au problème.
Cette notion de base se généralise à toute structure vectorielle.
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