vignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w.
En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.). En d'autres termes, c'est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires. Les scalaires sont généralement des nombres réels ou des nombres complexes, ou alors pris dans n'importe quel corps.
Étant donné un corps K, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) muni d'une action « compatible » de K (au sens de la définition ci-dessous).
Soit K un corps commutatif, comme le corps commutatif des rationnels, celui, , des réels ou celui, , des complexes (on parlera dans ces cas d'espace vectoriel rationnel, réel ou complexe).
Un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel, est un ensemble E, dont les éléments sont appelés vecteurs (ou — plus rarement — points), muni de deux lois :
une loi de composition interne « + » : E → E, appelée addition ou somme vectorielle,
une loi de composition externe à gauche « • » : K × E → E, appelée multiplication par un scalaire,
tel que les propriétés suivantes soient vérifiées :
(E,+) est un groupe abélien, autrement dit :
la loi « + » est commutative,
elle est associative,
elle admet un élément neutre, noté 0E, appelé vecteur nul et,
tout vecteur v a un opposé, noté –v.
C'est-à-dire que pour tous vecteurs u, v et w de E :
La loi « • » vérifie les propriétés suivantes :
elle est distributive à gauche par rapport à la loi « + » de E et à droite par rapport à l'addition du corps K,
elle vérifie une associativité mixte (par rapport à la multiplication dans K),
l'élément neutre multiplicatif du corps K, noté 1K, est neutre à gauche pour •.
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
thumb|upright=1.5 En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.
En mathématiques et plus particulièrement en topologie, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. Les éléments seront, en général, appelés des points. Tout espace métrique est canoniquement muni d'une topologie. Les espaces métrisables sont les espaces topologiques obtenus de cette manière. L'exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l'espace est l'espace euclidien à trois dimensions.
vignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w. En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.
Singular cohomology is defined by dualizing the singular chain complex for spaces. We will study its basic properties, see how it acquires a multiplicative structure and becomes a graded commutative a
The course introduces teh paradigm of quantum computation in an axiomatic way. We introduce the notion of quantum bit, gates, circuits and we treat the most important quantum algorithms. We also touch
Explore la similarité de la matrice, la diagonalisation, les polynômes caractéristiques, les valeurs propres et les vecteurs propres dans l'algèbre linéaire.
Magnetic skyrmions are nanometric and non-trivial spin textures with non-zero topological charge. Their robustness against perturbations and the possibility to control them using external stimuli make
We discuss some properties of generative models for word embeddings. Namely, (Arora et al., 2016) proposed a latent discourse model implying the concentration of the partition function of the word vec
Since the birth of Information Theory, researchers have defined and exploited various information measures, as well as endowed them with operational meanings. Some were born as a "solution to a proble