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Concept
Espace vectoriel
Résumé
vignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w que l'on peut multiplier par 2, on obtient alors 2w et la somme devient v + 2w.
En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble d'objets, appelés vecteurs, que l'on peut additionner entre eux, et que l'on peut multiplier par un scalaire (pour les étirer ou les rétrécir, les tourner, etc.). En d'autres termes, c'est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires. Les scalaires sont généralement des nombres réels ou des nombres complexes, ou alors pris dans n'importe quel corps.
Étant donné un corps K, un espace vectoriel E sur K est un groupe commutatif (dont la loi est notée +) muni d'une action « compatible » de K (au sens de la définition ci-dessous).
Soit K un corps commutatif, comme le corps commutatif des rationnels, celui, , des réels ou celui, , des complexes (on parlera dans ces cas d'espace vectoriel rationnel, réel ou complexe).
Un espace vectoriel sur K, ou K-espace vectoriel, est un ensemble E, dont les éléments sont appelés vecteurs (ou — plus rarement — points), muni de deux lois :
une loi de composition interne « + » : E → E, appelée addition ou somme vectorielle,
une loi de composition externe à gauche « • » : K × E → E, appelée multiplication par un scalaire,
tel que les propriétés suivantes soient vérifiées :
- (E,+) est un groupe abélien, autrement dit : la loi « + » est commutative, elle est associative, elle admet un élément neutre, noté 0E, appelé vecteur nul et, tout vecteur v a un opposé, noté –v. C'est-à-dire que pour tous vecteurs u, v et w de E :
- La loi « • » vérifie les propriétés suivantes : elle est distributive à gauche par rapport à la loi « + » de E et à droite par rapport à l'addition du corps K, elle vérifie une associativité mixte (par rapport à la multiplication dans K), l'élément neutre multiplicatif du corps K, noté 1K, est neutre à gauche pour •.
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