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Concept
Groupe de Grigorchuk
Résumé
En mathématiques et notamment en théorie des groupes, le groupe de Grigorchuk, aussi appelé le premier groupe de Grigorchuk, est un groupe finiment engendré construit par Rostislav Grigorchuk et qui fournit le premier exemple d'un groupe finiment engendré de croissance intermédiaire, c'est-à-dire plus rapide qu'un polynôme et plus lent qu'une exponentielle. Le groupe de Grigorchuk est aussi le premier exemple d'un groupe moyennable qui n’est pas élémentairement moyennable, ce qui répond à une question de Mahlon Day posée en 1957.
Le groupe a été construit par Grigorchuk en 1980, et il a prouvé qu'il est de croissance intermédiaire en 1984 ; ceci répond à une question posée par John Milnor en 1968. Le groupe de Grigorchuk continue à être un objet clé en théorie géométrique des groupes, en particulier en relation avec les groupes automatiques, et a aussi des connexions avec les groupes de monodromie itérée.
Le taux de croissance d'un groupe finiment engendré est le nombre b(n) d'éléments du groupe qui sont produits d'au plus n éléments de l'ensemble de générateurs.
Grigorchuk a prouvé que b(n) croît plus vite que mais moins vite que où .
La borne supérieure a été améliorée par Laurent Bartholdi qui obtient :
où vérifie
Une meilleure borne inférieure a été démontrée par Yurii Leonov.
Un résultat lié est le théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale, obtenu par Mikhaïl Gromov en 1981, qui montre qu'un groupe finiment engendré a croissance polynomiale si et seulement si ce groupe a un sous-groupe nilpotent d'index fini. Avant l'exemple de Grigorchuk, plusieurs résultats ont décrit des classes de groupes dont la croissance est soit polynomiale soit exponentielle, comme les groupes linéaires ou les groupes résolubles etc.
Des extensions et généralisations ont été proposées par divers auteurs.
thumb|Arbre binaire .
Le groupe de Grigorchuk est défini comme un groupe d'automorphismes de l’arbre binaire infini. L'arbre, noté (on rencontre aussi la notation ou ), est vu comme l'ensemble des mots finis sur l'alphabet , y compris le mot vide (ou ) qui est la racine de l’arbre.
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