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Concept
Code parfait et code MDS
Résumé
Les codes parfaits et les codes à distance séparable maximale (MDS), sont des types de codes correcteurs d'erreur.
Un code correcteur est un code permettant au récepteur de détecter ou de corriger des altérations à la suite de la transmission ou du stockage. Elle est rendue possible grâce à une redondance de l'information. Un code est dit parfait s'il ne contient aucune redondance inutile. Le concept correspond à un critère d'optimalité. Un code est dit MDS s'il vérifie un autre critère d'optimalité s'exprimant dans le contexte des codes linéaires.
Il existe de nombreux codes correcteurs. Les sommes de contrôles sont les exemples les plus simples, on peut citer néanmoins aussi des codes cycliques comme des BCH ou ceux de Reed-Solomon. Les codes parfaits sont plus rares, on peut citer par exemple les codes de Hamming ou les codes de Golay binaires de longueur 23 et ternaire de longueur 11.
Code correcteur
Les codes correcteurs ont leur source dans un problème très concret lié à la transmission de données. Dans certains cas, une transmission de données se fait en utilisant une voie de communication qui n'est pas entièrement fiable. Les données, lorsqu'elles circulent sur cette voie, sont susceptibles d'être altérées. L'objectif d'un code correcteur est l'apport d'une redondance de l'information de manière que l'erreur puisse être détectée ou corrigée.
Rappelons brièvement la formalisation d'un code. Un message est un mot formé de k lettres prises dans un alphabet A, notons E l'ensemble des messages. Ce message est encodé par une application φ injective en un mot contenant n lettres dans un alphabet A' non nécessairement égal à A. Notons q le cardinal de A' et F l'ensemble d'arrivée de φ. F est l'ensemble des mots formé de n lettres pris dans un alphabet à q éléments, F est donc de cardinal qn. L'ensemble φ(E) est inclus dans F et est appelé code et un élément de cet ensemble un mot du code. La longueur du code correspond à k, le nombre de lettres constituant le message. Ces notations sont utilisés dans tout l'article.
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