Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Système axiomatique
Résumé
En mathématiques, un système axiomatique est un ensemble d'axiomes dont certains ou tous les axiomes peuvent être utilisés logiquement pour dériver des théorèmes. Une théorie consiste en un système axiomatique et tous ses théorèmes dérivés. Un système axiomatique complet est un type particulier de système formel. Une théorie formelle signifie généralement un système axiomatique, par exemple formulé dans la théorie des modèles. Une démonstration formelle est une interprétation complète d'une démonstration mathématique dans un système formel.
Un système axiomatique est dit être cohérent s'il ne contient aucune contradiction, à savoir la capacité à dériver à la fois une affirmation et son refus des axiomes du système.
Dans un système axiomatique, un axiome est appelé indépendant s'il n'est pas un théorème qui peut être dérivé d'autres axiomes du système. Un système est dit indépendant si tous ses axiomes sous-jacents sont indépendants. Bien que l'indépendance n'est pas une condition nécessaire pour un système, la cohérence l'est.
Un système axiomatique est dit complet si toute proposition, ou sa négation, est dérivable.
Au-delà de la cohérence, la cohérence relative est aussi la marque d'un système d'axiome valable. Cela est lorsque les termes non définis d'un premier système d'axiomes sont des conséquences des définitions d'un second, de telle sorte que les axiomes du premier sont des théorèmes du second système.
Un modèle pour un système axiomatique est un ensemble bien défini, qui attribue une signification aux termes non définis présentés dans le système, d'une manière qui est correcte avec les relations définies dans le système. L'existence d'un modèle concret prouve la cohérence d'un système. Un modèle est dit concret si les significations assignées sont des objets et des relations du monde réel, par opposition à un modèle abstrait, qui repose sur d'autres systèmes axiomatiques.
Les modèles peuvent également être utilisés pour exposer l'indépendance d'un axiome dans le système.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.