En logique mathématique, le calcul des prédicats du premier ordre, ou calcul des relations, logique quantificationnelle, ou tout simplement calcul des prédicats, est un système formel utilisé pour raisonner et décrire des énoncés en mathématiques, informatique, intelligence artificielle, philosophie et linguistique. Il a été proposé par Gottlob Frege une formalisation du langage des mathématiques entre la fin du et le début du . La logique du premier ordre comporte deux parties :
la syntaxe définit le vocabulaire symbolique de base ainsi que les règles permettant de construire des énoncés complexes,
la sémantique interprète ces énoncés comme exprimant des relations entre les éléments d'un domaine, également appelé modèle.
Sur le plan syntaxique, les langages du premier ordre opposent deux grandes classes linguistiques :
les constituants servant à identifier ou nommer des éléments du domaine : variables, symboles de constantes, termes ;
les constituants servant à exprimer des propriétés ou des relations entre ces éléments : prédicats et formules.
Un prédicat est une expression linguistique qui peut être reliée à un ou plusieurs éléments du domaine pour former une phrase. Par exemple, dans la phrase « Mars est une planète », l'expression « est une planète » est un prédicat qui est relié au nom (symbole de constante) « Mars » pour former une phrase. Et dans la phrase « Jupiter est plus grand que Mars », l'expression « est plus grand que » est un prédicat qui se relie aux deux noms, « Jupiter » et « Mars », pour former une phrase.
En logique mathématique, lorsqu'un prédicat est lié à une expression, on dit qu'il exprime une propriété (telle que la propriété d'être une planète), et lorsqu'il est lié à deux ou plusieurs expressions, on dit qu'il exprime une relation (telle que la relation d'être plus grand). Ainsi on peut raisonner sur des énoncés comme « Tout est gentil » et « Il existe un tel que pour tout , est ami avec », ce qui exprimé symboliquement se traduit par la formule :
et .
