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Logique classique
Résumé
La logique classique est la première formalisation du langage et du raisonnement mathématique développée à partir de la fin du en logique mathématique. Appelée simplement logique à ses débuts, c'est l'apparition d'autres systèmes logiques formels, notamment de la logique intuitionniste, qui a suscité l'adjonction de l'adjectif classique au terme logique. À cette époque, le terme de logique classique fait référence à la logique aristotélicienne.
La logique classique est caractérisée par des postulats qui la fondent et la différencient de la logique intuitionniste, exprimés dans le formalisme du calcul des propositions ou du calcul des prédicats :
Le tiers exclu énonce que pour toute proposition mathématique considérée, elle-même ou sa négation est vraie :
Le raisonnement par l'absurde :
La contraposition :
L'implication matérielle :
Ces principes sont équivalents par raisonnement intuitionniste, c’est-à-dire que l'on peut montrer que n'importe lequel d'entre eux permet de déduire les autres en utilisant les règles intuitionnistes.
On y ajoute généralement l'une des lois de De Morgan :
Ces principes contribuent au fait que les modèles calculatoires de la logique classique sont beaucoup plus complexes que ceux de la logique intuitionniste.
Le principe
est valide en logique classique, et n'est pas démontrable en logique intuitionniste, mais son adjonction à la logique intuitionniste n'engendre pas la logique classique.
La sémantique (autrement dit la signification) de la logique classique se fait par des tables de vérité.
Si on ajoute la proposition à la logique intuitionniste, on obtient une logique qui n'est plus la logique intuitionniste, car n'est pas une conséquence de la logique intuitionniste, et qui n'est pas encore la logique classique, car le tiers-exclus n'est pas une conséquence de cette formule.
Les modèles de Kripke sont essentiels pour comprendre la différence entre logique classique et logique intuitionniste. Le présent paragraphe en est une illustration et explique l'affirmation de l'alinéa ci-dessus.
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