Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Algèbre sur un corps
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A, +, ·, ×) telle que :
(A, +, ·) est un espace vectoriel sur K ;
la loi × est définie de A × A dans A (loi de composition interne) ;
la loi × est bilinéaire.
Une algèbre sur un corps commutatif K est un K-espace vectoriel A muni d'une opération binaire × (c'est-à-dire que le « produit » x×y de deux éléments de A est un élément de A) bilinéaire, ce qui signifie que pour tous vecteurs x, y, z dans A et tous scalaires a, b dans K, les égalités suivantes sont vraies :
(x + y) × z = x × z + y × z ;
x × (y + z) = x × y + x × z ;
(a x) × (b y) = (a b) (x × y).
Les deux premières égalités traduisent la distributivité de la loi × par rapport à la loi +.
On dit que K est le corps de base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.
Un morphisme entre deux algèbres A et B sur K est une application f : A → B telle que
∀x, y ∈ A, ∀a ∈ K, f(x × y) = f(x) × f(y) et f(x + ay) = f(x) + af(y).
Deux algèbres A et B sur K sont dites isomorphes s'il existe une bijection de A dans B qui soit un morphisme d'algèbres.
Dans la définition, K peut être un anneau commutatif unitaire, et A un K-module. Alors, A est encore appelée une K-algèbre et on dit que K est l'anneau de base de A.
algèbre sur un anneau
Une algèbre associative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × est associative. Lorsque cet anneau est un corps, il s'agit donc d'une algèbre associative sur un corps.
Une algèbre commutative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × est commutative.
Une algèbre unifère est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × admet un élément neutre, noté 1.
Une base d'une algèbre A sur un corps K est une base de A pour sa structure d'espace vectoriel.
Si est une base de A, il existe alors une unique famille d'éléments du corps K tels que :
Pour i et j fixés, les coefficients sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.