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Concept
Subalgebra
Résumé
In mathematics, a subalgebra is a subset of an algebra, closed under all its operations, and carrying the induced operations.
"Algebra", when referring to a structure, often means a vector space or module equipped with an additional bilinear operation. Algebras in universal algebra are far more general: they are a common generalisation of all algebraic structures. "Subalgebra" can refer to either case.
A subalgebra of an algebra over a commutative ring or field is a vector subspace which is closed under the multiplication of vectors. The restriction of the algebra multiplication makes it an algebra over the same ring or field. This notion also applies to most specializations, where the multiplication must satisfy additional properties, e.g. to associative algebras or to Lie algebras. Only for unital algebras is there a stronger notion, of unital subalgebra, for which it is also required that the unit of the subalgebra be the unit of the bigger algebra.
The 2×2-matrices over the reals form a unital algebra in the obvious way. The 2×2-matrices for which all entries are zero, except for the first one on the diagonal, form a subalgebra. It is also unital, but it is not a unital subalgebra.
Substructure (mathematics)
In universal algebra, a subalgebra of an algebra A is a subset S of A that also has the structure of an algebra of the same type when the algebraic operations are restricted to S. If the axioms of a kind of algebraic structure is described by equational laws, as is typically the case in universal algebra, then the only thing that needs to be checked is that S is closed under the operations.
Some authors consider algebras with partial functions. There are various ways of defining subalgebras for these. Another generalization of algebras is to allow relations. These more general algebras are usually called structures, and they are studied in model theory and in theoretical computer science. For structures with relations there are notions of weak and of induced substructures.
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Proximité ontologique
Concepts associés (5)
Algèbre sur un corps
En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A, +, ·, ×) telle que : (A, +, ·) est un espace vectoriel sur K ; la loi × est définie de A × A dans A (loi de composition interne) ; la loi × est bilinéaire.
Noyau (algèbre)
En mathématiques et plus particulièrement en algèbre générale, le noyau d'un morphisme mesure la non-injectivité d'un morphisme. Dans de nombreux cas, le noyau d'un morphisme est un sous-ensemble de l'ensemble de définition du morphisme : l'ensemble des éléments qui sont envoyés sur l'élément neutre de l'ensemble d'arrivée. Dans des contextes plus généraux, le noyau est interprété comme une relation d'équivalence sur l'ensemble de définition : la relation qui relie les éléments qui sont envoyés sur une même par le morphisme.
Anneau quotient
En mathématiques, un anneau quotient est un anneau qu'on construit sur l'ensemble quotient d'un anneau par un de ses idéaux bilatères. Soit A un anneau. L'addition et la multiplication de A sont compatibles avec une relation d'équivalence sur A si (et seulement si) celle-ci est de la forme : x ~ y ⇔ x – y ∈ I, pour un certain idéal bilatère I de A. On peut alors munir l'ensemble quotient A/I de l'addition et de la multiplication quotients de celles de A : Ceci munit A/I d'une structure d'anneau, appelé l'anneau quotient de A par I (son groupe additif est le groupe quotient de (A, +) par I).