Axiom of reducibilityThe axiom of reducibility was introduced by Bertrand Russell in the early 20th century as part of his ramified theory of types. Russell devised and introduced the axiom in an attempt to manage the contradictions he had discovered in his analysis of set theory. With Russell's discovery (1901, 1902) of a paradox in Gottlob Frege's 1879 Begriffsschrift and Frege's acknowledgment of the same (1902), Russell tentatively introduced his solution as "Appendix B: Doctrine of Types" in his 1903 The Principles of Mathematics.
LogiqueLa logique — du grec , qui est un terme dérivé de signifiant à la fois « raison », « langage » et « raisonnement » — est, dans une première approche, l'étude de l'inférence, c'est-à-dire des règles formelles que doit respecter toute argumentation correcte. Le terme aurait été utilisé pour la première fois par Xénocrate. La logique antique se décompose d'abord en dialectique et rhétorique. Elle est depuis l'Antiquité l'une des grandes disciplines de la philosophie, avec l'éthique (philosophie morale) et la physique (science de la nature).
Paradoxe de Burali-FortiEn mathématiques, le paradoxe de Burali-Forti, paru en 1897, désigne une construction qui conduit dans certaines théories des ensembles ou théories des types trop naïves à une antinomie, c’est-à-dire que la théorie est contradictoire (on dit aussi incohérente ou inconsistante). Dit brièvement, il énonce que, comme on peut définir la borne supérieure d'un ensemble d'ordinaux, si l'ensemble de tous les ordinaux existe, on peut définir un ordinal supérieur strictement à tous les ordinaux, d'où une contradiction.
New FoundationsEn logique mathématique, New Foundations (NF) est une théorie des ensembles axiomatique introduite par Willard Van Orman Quine en 1937, dans un article intitulé « New Foundations for Mathematical Logic », et qui a connu un certain nombre de variantes. Pour éviter le paradoxe de Russell, le principe de compréhension est restreint aux formules stratifiées, une restriction inspirée de la théorie des types, mais où la notion de type est implicite.
LogicismeLe logicisme est une attitude vis-à-vis des mathématiques selon laquelle celles-ci sont une extension de la logique et donc que tous les concepts et théories mathématiques sont réductibles à la logique. Si ce programme était réalisable, il pourrait soutenir le positivisme logique en particulier, et le réductionnisme en général. Bertrand Russell et Alfred North Whitehead ont défendu cette approche, créée par le mathématicien Gottlob Frege. Le logicisme a joué un rôle clé dans le développement de la philosophie analytique au .
Paradoxe de RussellLe paradoxe de Russell, ou antinomie de Russell, est un paradoxe très simple de la théorie des ensembles (Russell lui-même parle de théorie des classes, en un sens équivalent), qui a joué un rôle important dans la formalisation de celle-ci. Il fut découvert par Bertrand Russell vers 1901 et publié en 1903. Il était en fait déjà connu à Göttingen, où il avait été découvert indépendamment par Ernst Zermelo, à la même époque, mais ce dernier ne l'a pas publié.
Théorèmes d'incomplétude de GödelLes théorèmes d'incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, publiés par Kurt Gödel en 1931 dans son article (« Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés »). Ils ont marqué un tournant dans l'histoire de la logique en apportant une réponse négative à la question de la démonstration de la cohérence des mathématiques posée plus de 20 ans auparavant par le programme de Hilbert.
Philosophie des mathématiquesLa philosophie des mathématiques est la branche de la philosophie des sciences qui tente de répondre aux interrogations sur les fondements des mathématiques ainsi que sur leur usage. On y croise des questions telles que : « les mathématiques sont-elles nécessaires ? », « pourquoi les mathématiques sont-elles utiles ou efficaces pour décrire la nature ? », « dans quel(s) sens, peut-on dire que les entités mathématiques existent ? » ou « pourquoi et comment peut-on dire qu'une proposition mathématique est vraie ? ».
Hermann WeylHermann Weyl (), né le à Elmshorn et mort le à Zurich, est un mathématicien et physicien théoricien allemand du . Il fut le premier, dès 1918, à combiner la relativité générale avec l'électromagnétisme en développant la géométrie de Weyl (ou géométrie conforme) et en introduisant la notion de jauge. L'invariance de jauge est à la base du modèle standard et reste un ingrédient fondamental pour la physique théorique moderne. Ses recherches en mathématiques portèrent essentiellement sur la topologie, la géométrie et l'algèbre.
Paradoxethumb|200px|Les « cubes impossibles » de M. Escher sont des représentations graphiques paradoxales. Un paradoxe, d'après l'étymologie (du grec paradoxos, « παράδοξος » : « contraire à l'opinion commune », de para : « contre », et doxa : « opinion »), est une idée ou une proposition à première vue surprenante ou choquante, c'est-à-dire allant contre le sens commun. En ce sens, le paradoxe désigne également une figure de style consistant à formuler, au sein d'un discours, une expression, généralement antithétique, qui va à l'encontre du sens commun.
